Rezolvați ∫ [2x^4+2x^3-8x^2-8x/x+1] wrt x

$$\int [ \frac { 2 x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 } - 8 x } { x + 1 } ] d x$$

Evaluați

$$\frac{x^{4}}{2}-4x^{2}+С$$

Pașii soluției

Descompuneți în factori expresiile care nu sunt descompuse deja în \frac{2x^{4}+2x^{3}-8x^{2}-8x}{x+1}.

$$\int \frac{2x\left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{x+1}\mathrm{d}x$$

Reduceți prin eliminare x+1 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\int 2x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\mathrm{d}x$$

Extindeți expresia.

$$\int 2x^{3}-8x\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int -8x\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x-8\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{3}\mathrm{d}x cu \frac{x^{4}}{4}. Înmulțiți 2 cu \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}-8\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți -8 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{2}-4x^{2}$$

Dacă F\left(x\right) este o primitiva de f\left(x\right), atunci setul tuturor antiderivatives de f\left(x\right) este dat de F\left(x\right)+C. Prin urmare, adăugați constanta de integrare C\in \mathrm{R} la rezultat.

$$-4x^{2}+\frac{x^{4}}{2}+С$$

Calculați derivata în funcție de x

$$2x\left(x^{2}-4\right)$$