Rezolvați x-1/x-2+x-7/x-8=x-3/x-4+x-5/x-6

$$\frac{ x-1 }{ x-2 } + \frac{ x-7 }{ x-8 } = \frac{ x-3 }{ x-4 } + \frac{ x-5 }{ x-6 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=5$$

Pași pentru rezolvarea ecuației liniare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 2,4,6,8, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x-8,x-4,x-6.

$$\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-1\right)+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-8 cu x-6 și a combina termenii similari.

$$\left(x^{2}-14x+48\right)\left(x-4\right)\left(x-1\right)+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-14x+48 cu x-4 și a combina termenii similari.

$$\left(x^{3}-18x^{2}+104x-192\right)\left(x-1\right)+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{3}-18x^{2}+104x-192 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-6 cu x-4 și a combina termenii similari.

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+\left(x^{2}-10x+24\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-10x+24 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+\left(x^{3}-12x^{2}+44x-48\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{3}-12x^{2}+44x-48 cu x-7 și a combina termenii similari.

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+x^{4}-19x^{3}+128x^{2}-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Combinați x^{4} cu x^{4} pentru a obține 2x^{4}.

$$2x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192-19x^{3}+128x^{2}-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Combinați -19x^{3} cu -19x^{3} pentru a obține -38x^{3}.

$$2x^{4}-38x^{3}+122x^{2}-296x+192+128x^{2}-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Combinați 122x^{2} cu 128x^{2} pentru a obține 250x^{2}.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-296x+192-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Combinați -296x cu -356x pentru a obține -652x.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+192+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Adunați 192 și 336 pentru a obține 528.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-8 cu x-6 și a combina termenii similari.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=\left(x^{2}-14x+48\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-14x+48 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=\left(x^{3}-16x^{2}+76x-96\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{3}-16x^{2}+76x-96 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-8 cu x-4 și a combina termenii similari.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+\left(x^{2}-12x+32\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-12x+32 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+\left(x^{3}-14x^{2}+56x-64\right)\left(x-5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{3}-14x^{2}+56x-64 cu x-5 și a combina termenii similari.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+x^{4}-19x^{3}+126x^{2}-344x+320$$

Combinați x^{4} cu x^{4} pentru a obține 2x^{4}.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288-19x^{3}+126x^{2}-344x+320$$

Combinați -19x^{3} cu -19x^{3} pentru a obține -38x^{3}.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+124x^{2}-324x+288+126x^{2}-344x+320$$

Combinați 124x^{2} cu 126x^{2} pentru a obține 250x^{2}.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-324x+288-344x+320$$

Combinați -324x cu -344x pentru a obține -668x.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-668x+288+320$$

Adunați 288 și 320 pentru a obține 608.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-668x+608$$

Scădeți 2x^{4} din ambele părți.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528-2x^{4}=-38x^{3}+250x^{2}-668x+608$$

Combinați 2x^{4} cu -2x^{4} pentru a obține 0.

$$-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=-38x^{3}+250x^{2}-668x+608$$

Adăugați 38x^{3} la ambele părți.

$$-38x^{3}+250x^{2}-652x+528+38x^{3}=250x^{2}-668x+608$$

Combinați -38x^{3} cu 38x^{3} pentru a obține 0.

$$250x^{2}-652x+528=250x^{2}-668x+608$$

Scădeți 250x^{2} din ambele părți.

$$250x^{2}-652x+528-250x^{2}=-668x+608$$

Combinați 250x^{2} cu -250x^{2} pentru a obține 0.

$$-652x+528=-668x+608$$

Adăugați 668x la ambele părți.

$$-652x+528+668x=608$$

Combinați -652x cu 668x pentru a obține 16x.

$$16x+528=608$$

Scădeți 528 din ambele părți.

$$16x=608-528$$

Scădeți 528 din 608 pentru a obține 80.

$$16x=80$$

Se împart ambele părți la 16.

$$x=\frac{80}{16}$$

Împărțiți 80 la 16 pentru a obține 5.

$$x=5$$