Rezolvați x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{1}{2},1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(2x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Înmulțiți x-1 cu x-1 pentru a obține \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Înmulțiți 2x+1 cu 2x+1 pentru a obține \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 2x+1 și a combina termenii similari.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x^{2}-x-1 cu 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Combinați 4x^{2} cu 6x^{2} pentru a obține 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Combinați 4x cu -3x pentru a obține x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Scădeți 3 din 1 pentru a obține -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Scădeți 10x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Combinați x^{2} cu -10x^{2} pentru a obține -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Scădeți x din ambele părți.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Combinați -2x cu -x pentru a obține -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Adăugați 2 la ambele părți.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Adunați 1 și 2 pentru a obține 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -9, b cu -3 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți 36 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Adunați 9 cu 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Împărțiți 3+3\sqrt{13} la -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{13} din 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Împărțiți 3-3\sqrt{13} la -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{1}{2},1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(2x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Înmulțiți x-1 cu x-1 pentru a obține \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Înmulțiți 2x+1 cu 2x+1 pentru a obține \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 2x+1 și a combina termenii similari.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x^{2}-x-1 cu 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Combinați 4x^{2} cu 6x^{2} pentru a obține 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Combinați 4x cu -3x pentru a obține x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Scădeți 3 din 1 pentru a obține -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Scădeți 10x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Combinați x^{2} cu -10x^{2} pentru a obține -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Scădeți x din ambele părți.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Combinați -2x cu -x pentru a obține -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Scădeți 1 din -2 pentru a obține -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Se împart ambele părți la -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Împărțirea la -9 anulează înmulțirea cu -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Reduceți fracția \frac{-3}{-9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Reduceți fracția \frac{-3}{-9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Împărțiți \frac{1}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Adunați \frac{1}{3} cu \frac{1}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Factorul x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Scădeți \frac{1}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$