Rezolvați x+18/2+x/2+15=x^2+18x/2x+18

$$\frac{ x+18 }{ 2 } + \frac{ x }{ 2 } +15= \frac{ { x }^{ 2 } +18x }{ 2x+18 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-36$$

$$x=-12$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu -9, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(x+9\right), cel mai mic multiplu comun al 2,2x+18.

$$\left(x+9\right)\left(x+18\right)+\left(x+9\right)x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+9 cu x+18 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+27x+162+\left(x+9\right)x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+9 cu x.

$$x^{2}+27x+162+x^{2}+9x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}+27x+162+9x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Combinați 27x cu 9x pentru a obține 36x.

$$2x^{2}+36x+162+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Înmulțiți 2 cu 15 pentru a obține 30.

$$2x^{2}+36x+162+30\left(x+9\right)=x^{2}+18x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 30 cu x+9.

$$2x^{2}+36x+162+30x+270=x^{2}+18x$$

Combinați 36x cu 30x pentru a obține 66x.

$$2x^{2}+66x+162+270=x^{2}+18x$$

Adunați 162 și 270 pentru a obține 432.

$$2x^{2}+66x+432=x^{2}+18x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}+66x+432-x^{2}=18x$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+66x+432=18x$$

Scădeți 18x din ambele părți.

$$x^{2}+66x+432-18x=0$$

Combinați 66x cu -18x pentru a obține 48x.

$$x^{2}+48x+432=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+48x+432 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=48 ab=432$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 432.

$$1,432 2,216 3,144 4,108 6,72 8,54 9,48 12,36 16,27 18,24$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+432=433 2+216=218 3+144=147 4+108=112 6+72=78 8+54=62 9+48=57 12+36=48 16+27=43 18+24=42$$

Soluția este perechea care dă suma de 48.

$$a=12 b=36$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x+12\right)\left(x+36\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+12=0 și x+36=0.

$$x=-12 x=-36$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu -9, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(x+9\right), cel mai mic multiplu comun al 2,2x+18.

$$\left(x+9\right)\left(x+18\right)+\left(x+9\right)x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+9 cu x+18 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+27x+162+\left(x+9\right)x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+9 cu x.

$$x^{2}+27x+162+x^{2}+9x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}+27x+162+9x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Combinați 27x cu 9x pentru a obține 36x.

$$2x^{2}+36x+162+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Înmulțiți 2 cu 15 pentru a obține 30.

$$2x^{2}+36x+162+30\left(x+9\right)=x^{2}+18x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 30 cu x+9.

$$2x^{2}+36x+162+30x+270=x^{2}+18x$$

Combinați 36x cu 30x pentru a obține 66x.

$$2x^{2}+66x+162+270=x^{2}+18x$$

Adunați 162 și 270 pentru a obține 432.

$$2x^{2}+66x+432=x^{2}+18x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}+66x+432-x^{2}=18x$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+66x+432=18x$$

Scădeți 18x din ambele părți.

$$x^{2}+66x+432-18x=0$$

Combinați 66x cu -18x pentru a obține 48x.

$$x^{2}+48x+432=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+432. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=48 ab=1\times 432=432$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 432.

$$1,432 2,216 3,144 4,108 6,72 8,54 9,48 12,36 16,27 18,24$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+432=433 2+216=218 3+144=147 4+108=112 6+72=78 8+54=62 9+48=57 12+36=48 16+27=43 18+24=42$$

Soluția este perechea care dă suma de 48.

$$a=12 b=36$$

Rescrieți x^{2}+48x+432 ca \left(x^{2}+12x\right)+\left(36x+432\right).

$$\left(x^{2}+12x\right)+\left(36x+432\right)$$

Factor x în primul și 36 în al doilea grup.

$$x\left(x+12\right)+36\left(x+12\right)$$

Scoateți termenul comun x+12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+12\right)\left(x+36\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+12=0 și x+36=0.

$$x=-12 x=-36$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu -9, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(x+9\right), cel mai mic multiplu comun al 2,2x+18.

$$\left(x+9\right)\left(x+18\right)+\left(x+9\right)x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+9 cu x+18 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+27x+162+\left(x+9\right)x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+9 cu x.

$$x^{2}+27x+162+x^{2}+9x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}+27x+162+9x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Combinați 27x cu 9x pentru a obține 36x.

$$2x^{2}+36x+162+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Înmulțiți 2 cu 15 pentru a obține 30.

$$2x^{2}+36x+162+30\left(x+9\right)=x^{2}+18x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 30 cu x+9.

$$2x^{2}+36x+162+30x+270=x^{2}+18x$$

Combinați 36x cu 30x pentru a obține 66x.

$$2x^{2}+66x+162+270=x^{2}+18x$$

Adunați 162 și 270 pentru a obține 432.

$$2x^{2}+66x+432=x^{2}+18x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}+66x+432-x^{2}=18x$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+66x+432=18x$$

Scădeți 18x din ambele părți.

$$x^{2}+66x+432-18x=0$$

Combinați 66x cu -18x pentru a obține 48x.

$$x^{2}+48x+432=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 48 și c cu 432 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 432}}{2}$$

Ridicați 48 la pătrat.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 432}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-1728}}{2}$$

Adunați 2304 cu -1728.

$$x=\frac{-48±\sqrt{576}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 576.

$$x=\frac{-48±24}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-48±24}{2} atunci când ± este plus. Adunați -48 cu 24.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Împărțiți -24 la 2.

$$x=-12$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-48±24}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 24 din -48.

$$x=-\frac{72}{2}$$

Împărțiți -72 la 2.

$$x=-36$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-12 x=-36$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu -9, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(x+9\right), cel mai mic multiplu comun al 2,2x+18.

$$\left(x+9\right)\left(x+18\right)+\left(x+9\right)x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+9 cu x+18 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+27x+162+\left(x+9\right)x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+9 cu x.

$$x^{2}+27x+162+x^{2}+9x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}+27x+162+9x+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Combinați 27x cu 9x pentru a obține 36x.

$$2x^{2}+36x+162+2\left(x+9\right)\times 15=x^{2}+18x$$

Înmulțiți 2 cu 15 pentru a obține 30.

$$2x^{2}+36x+162+30\left(x+9\right)=x^{2}+18x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 30 cu x+9.

$$2x^{2}+36x+162+30x+270=x^{2}+18x$$

Combinați 36x cu 30x pentru a obține 66x.

$$2x^{2}+66x+162+270=x^{2}+18x$$

Adunați 162 și 270 pentru a obține 432.

$$2x^{2}+66x+432=x^{2}+18x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}+66x+432-x^{2}=18x$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+66x+432=18x$$

Scădeți 18x din ambele părți.

$$x^{2}+66x+432-18x=0$$

Combinați 66x cu -18x pentru a obține 48x.

$$x^{2}+48x+432=0$$

Scădeți 432 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$x^{2}+48x=-432$$

Împărțiți 48, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 24. Apoi, adunați pătratul lui 24 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+48x+24^{2}=-432+24^{2}$$

Ridicați 24 la pătrat.

$$x^{2}+48x+576=-432+576$$

Adunați -432 cu 576.

$$x^{2}+48x+576=144$$

Factor x^{2}+48x+576. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+24\right)^{2}=144$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+24\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Simplificați.

$$x+24=12 x+24=-12$$

Scădeți 24 din ambele părți ale ecuației.

$$x=-12 x=-36$$