Rezolvați x+1/x^2+1-1/2=0

$$\frac{ x+1 }{ { x }^{ 2 } +1 } - \frac{ 1 }{ 2 } =0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2,414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(x^{2}+1\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}+1,2.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Înmulțiți 2 cu -\frac{1}{2} pentru a obține -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Scădeți 1 din 2 pentru a obține 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+2x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 2 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 4 cu 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Împărțiți -2+2\sqrt{2} la -2.

$$x=1-\sqrt{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{2} din -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Împărțiți -2-2\sqrt{2} la -2.

$$x=\sqrt{2}+1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+1$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(x^{2}+1\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}+1,2.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Înmulțiți 2 cu -\frac{1}{2} pentru a obține -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Scădeți 1 din 2 pentru a obține 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Scădeți 1 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$2x-x^{2}=-1$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x=-1$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Împărțiți 2 la -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{-1}$$

Împărțiți -1 la -1.

$$x^{2}-2x=1$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

Adunați 1 cu 1.

$$x^{2}-2x+1=2$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Simplificați.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$