Rezolvați 4x-3/2x+1-102x-1/4x-3=3

$$\frac{ 4x-3 }{ 2x+1 } -10 \frac{ 2x-1 }{ 4x-3 } =3$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16}\approx 0,598941087$$

$$x=-\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16}\approx -0,973941087$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{1}{2},\frac{3}{4}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(4x-3\right)\left(2x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 2x+1,4x-3.

$$\left(4x-3\right)\left(4x-3\right)-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=3\left(4x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Înmulțiți 4x-3 cu 4x-3 pentru a obține \left(4x-3\right)^{2}.

$$\left(4x-3\right)^{2}-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=3\left(4x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=3\left(4x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 4x-3.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=\left(12x-9\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 12x-9 cu 2x+1 și a combina termenii similari.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=24x^{2}-6x-9$$

Scădeți 24x^{2} din ambele părți.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}=-6x-9$$

Adăugați 6x la ambele părți.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}+6x=-9$$

Adăugați 9 la ambele părți.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}+6x+9=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -10 cu 2x+1.

$$16x^{2}-24x+9+\left(-20x-10\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}+6x+9=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -20x-10 cu 2x-1 și a combina termenii similari.

$$16x^{2}-24x+9-40x^{2}+10-24x^{2}+6x+9=0$$

Combinați 16x^{2} cu -40x^{2} pentru a obține -24x^{2}.

$$-24x^{2}-24x+9+10-24x^{2}+6x+9=0$$

Adunați 9 și 10 pentru a obține 19.

$$-24x^{2}-24x+19-24x^{2}+6x+9=0$$

Combinați -24x^{2} cu -24x^{2} pentru a obține -48x^{2}.

$$-48x^{2}-24x+19+6x+9=0$$

Combinați -24x cu 6x pentru a obține -18x.

$$-48x^{2}-18x+19+9=0$$

Adunați 19 și 9 pentru a obține 28.

$$-48x^{2}-18x+28=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -48, b cu -18 și c cu 28 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\left(-48\right)\times 28}}{2\left(-48\right)}$$

Ridicați -18 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\left(-48\right)\times 28}}{2\left(-48\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -48.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+192\times 28}}{2\left(-48\right)}$$

Înmulțiți 192 cu 28.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+5376}}{2\left(-48\right)}$$

Adunați 324 cu 5376.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{5700}}{2\left(-48\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 5700.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±10\sqrt{57}}{2\left(-48\right)}$$

Opusul lui -18 este 18.

$$x=\frac{18±10\sqrt{57}}{2\left(-48\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -48.

$$x=\frac{18±10\sqrt{57}}{-96}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{18±10\sqrt{57}}{-96} atunci când ± este plus. Adunați 18 cu 10\sqrt{57}.

$$x=\frac{10\sqrt{57}+18}{-96}$$

Împărțiți 18+10\sqrt{57} la -96.

$$x=-\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{18±10\sqrt{57}}{-96} atunci când ± este minus. Scădeți 10\sqrt{57} din 18.

$$x=\frac{18-10\sqrt{57}}{-96}$$

Împărțiți 18-10\sqrt{57} la -96.

$$x=\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16} x=\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{1}{2},\frac{3}{4}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(4x-3\right)\left(2x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 2x+1,4x-3.

$$\left(4x-3\right)\left(4x-3\right)-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=3\left(4x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Înmulțiți 4x-3 cu 4x-3 pentru a obține \left(4x-3\right)^{2}.

$$\left(4x-3\right)^{2}-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=3\left(4x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=3\left(4x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 4x-3.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=\left(12x-9\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 12x-9 cu 2x+1 și a combina termenii similari.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=24x^{2}-6x-9$$

Scădeți 24x^{2} din ambele părți.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}=-6x-9$$

Adăugați 6x la ambele părți.

$$16x^{2}-24x+9-10\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}+6x=-9$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -10 cu 2x+1.

$$16x^{2}-24x+9+\left(-20x-10\right)\left(2x-1\right)-24x^{2}+6x=-9$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -20x-10 cu 2x-1 și a combina termenii similari.

$$16x^{2}-24x+9-40x^{2}+10-24x^{2}+6x=-9$$

Combinați 16x^{2} cu -40x^{2} pentru a obține -24x^{2}.

$$-24x^{2}-24x+9+10-24x^{2}+6x=-9$$

Adunați 9 și 10 pentru a obține 19.

$$-24x^{2}-24x+19-24x^{2}+6x=-9$$

Combinați -24x^{2} cu -24x^{2} pentru a obține -48x^{2}.

$$-48x^{2}-24x+19+6x=-9$$

Combinați -24x cu 6x pentru a obține -18x.

$$-48x^{2}-18x+19=-9$$

Scădeți 19 din ambele părți.

$$-48x^{2}-18x=-9-19$$

Scădeți 19 din -9 pentru a obține -28.

$$-48x^{2}-18x=-28$$

Se împart ambele părți la -48.

$$\frac{-48x^{2}-18x}{-48}=-\frac{28}{-48}$$

Împărțirea la -48 anulează înmulțirea cu -48.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{-48}\right)x=-\frac{28}{-48}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{-48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x^{2}+\frac{3}{8}x=-\frac{28}{-48}$$

Reduceți fracția \frac{-28}{-48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}+\frac{3}{8}x=\frac{7}{12}$$

Împărțiți \frac{3}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{16}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3}{8}x+\left(\frac{3}{16}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{3}{16}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{16} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{3}{8}x+\frac{9}{256}=\frac{7}{12}+\frac{9}{256}$$

Adunați \frac{7}{12} cu \frac{9}{256} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{3}{8}x+\frac{9}{256}=\frac{475}{768}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{8}x+\frac{9}{256}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{16}\right)^{2}=\frac{475}{768}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{475}{768}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{16}=\frac{5\sqrt{57}}{48} x+\frac{3}{16}=-\frac{5\sqrt{57}}{48}$$

Scădeți \frac{3}{16} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16} x=-\frac{5\sqrt{57}}{48}-\frac{3}{16}$$