Rezolvați 400/x+20+400/52/x+20+frac{400/53}{x}=11

$$\frac{ 400 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 2 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 3 }{ x } = 11$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7,272727273$$

$$x=60$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -20,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+20\right), cel mai mic multiplu comun al x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Împărțiți 400 la 5 pentru a obține 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Înmulțiți 80 cu 2 pentru a obține 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Combinați x\times 400 cu x\times 160 pentru a obține 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Împărțiți 400 la 5 pentru a obține 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Înmulțiți 80 cu 3 pentru a obține 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+20 cu 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Combinați 560x cu 240x pentru a obține 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 11x cu x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Scădeți 11x^{2} din ambele părți.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Scădeți 220x din ambele părți.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Combinați 800x cu -220x pentru a obține 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -11x^{2}+ax+bx+4800. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=580 ab=-11\times 4800=-52800$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -52800.

$$-1,52800 -2,26400 -3,17600 -4,13200 -5,10560 -6,8800 -8,6600 -10,5280 -11,4800 -12,4400 -15,3520 -16,3300 -20,2640 -22,2400 -24,2200 -25,2112 -30,1760 -32,1650 -33,1600 -40,1320 -44,1200 -48,1100 -50,1056 -55,960 -60,880 -64,825 -66,800 -75,704 -80,660 -88,600 -96,550 -100,528 -110,480 -120,440 -132,400 -150,352 -160,330 -165,320 -176,300 -192,275 -200,264 -220,240$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+52800=52799 -2+26400=26398 -3+17600=17597 -4+13200=13196 -5+10560=10555 -6+8800=8794 -8+6600=6592 -10+5280=5270 -11+4800=4789 -12+4400=4388 -15+3520=3505 -16+3300=3284 -20+2640=2620 -22+2400=2378 -24+2200=2176 -25+2112=2087 -30+1760=1730 -32+1650=1618 -33+1600=1567 -40+1320=1280 -44+1200=1156 -48+1100=1052 -50+1056=1006 -55+960=905 -60+880=820 -64+825=761 -66+800=734 -75+704=629 -80+660=580 -88+600=512 -96+550=454 -100+528=428 -110+480=370 -120+440=320 -132+400=268 -150+352=202 -160+330=170 -165+320=155 -176+300=124 -192+275=83 -200+264=64 -220+240=20$$

Soluția este perechea care dă suma de 580.

$$a=660 b=-80$$

Rescrieți -11x^{2}+580x+4800 ca \left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right).

$$\left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right)$$

Factor 11x în primul și 80 în al doilea grup.

$$11x\left(-x+60\right)+80\left(-x+60\right)$$

Scoateți termenul comun -x+60 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+60\right)\left(11x+80\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+60=0 și 11x+80=0.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -20,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+20\right), cel mai mic multiplu comun al x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Împărțiți 400 la 5 pentru a obține 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Înmulțiți 80 cu 2 pentru a obține 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Combinați x\times 400 cu x\times 160 pentru a obține 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Împărțiți 400 la 5 pentru a obține 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Înmulțiți 80 cu 3 pentru a obține 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+20 cu 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Combinați 560x cu 240x pentru a obține 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 11x cu x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Scădeți 11x^{2} din ambele părți.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Scădeți 220x din ambele părți.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Combinați 800x cu -220x pentru a obține 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -11, b cu 580 și c cu 4800 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-580±\sqrt{580^{2}-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Ridicați 580 la pătrat.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -11.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+44\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Înmulțiți 44 cu 4800.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+211200}}{2\left(-11\right)}$$

Adunați 336400 cu 211200.

$$x=\frac{-580±\sqrt{547600}}{2\left(-11\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 547600.

$$x=\frac{-580±740}{2\left(-11\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -11.

$$x=\frac{-580±740}{-22}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-580±740}{-22} atunci când ± este plus. Adunați -580 cu 740.

$$x=\frac{160}{-22}$$

Reduceți fracția \frac{160}{-22} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{80}{11}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-580±740}{-22} atunci când ± este minus. Scădeți 740 din -580.

$$x=-\frac{1320}{-22}$$

Împărțiți -1320 la -22.

$$x=60$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{80}{11} x=60$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -20,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+20\right), cel mai mic multiplu comun al x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Împărțiți 400 la 5 pentru a obține 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Înmulțiți 80 cu 2 pentru a obține 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Combinați x\times 400 cu x\times 160 pentru a obține 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Împărțiți 400 la 5 pentru a obține 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Înmulțiți 80 cu 3 pentru a obține 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+20 cu 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Combinați 560x cu 240x pentru a obține 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 11x cu x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Scădeți 11x^{2} din ambele părți.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Scădeți 220x din ambele părți.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Combinați 800x cu -220x pentru a obține 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Scădeți 4800 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$580x-11x^{2}=-4800$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-11x^{2}+580x=-4800$$

Se împart ambele părți la -11.

$$\frac{-11x^{2}+580x}{-11}=-\frac{4800}{-11}$$

Împărțirea la -11 anulează înmulțirea cu -11.

$$x^{2}+\frac{580}{-11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Împărțiți 580 la -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Împărțiți -4800 la -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=\frac{4800}{11}$$

Împărțiți -\frac{580}{11}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{290}{11}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{290}{11} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{4800}{11}+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{290}{11} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{4800}{11}+\frac{84100}{121}$$

Adunați \frac{4800}{11} cu \frac{84100}{121} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{136900}{121}$$

Factor x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{136900}{121}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{136900}{121}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{290}{11}=\frac{370}{11} x-\frac{290}{11}=-\frac{370}{11}$$

Adunați \frac{290}{11} la ambele părți ale ecuației.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$