Rezolvați 400/x+400div5*2/x+400div5*3/x-20=11

$$\frac{ 400 }{ x } + \frac{ 400 \div 5 \times 2 }{ x } + \frac{ 400 \div 5 \times 3 }{ x-20 } =11$$

Rezolvați pentru x

$$x=80$$

$$x = \frac{140}{11} = 12\frac{8}{11} \approx 12,727272727$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,20, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-20\right), cel mai mic multiplu comun al x,x-20.

$$\left(x-20\right)\times 400+\left(x-20\right)\times \frac{400}{5}\times 2+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-20 cu 400.

$$400x-8000+\left(x-20\right)\times \frac{400}{5}\times 2+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Împărțiți 400 la 5 pentru a obține 80.

$$400x-8000+\left(x-20\right)\times 80\times 2+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Înmulțiți 80 cu 2 pentru a obține 160.

$$400x-8000+\left(x-20\right)\times 160+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-20 cu 160.

$$400x-8000+160x-3200+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Combinați 400x cu 160x pentru a obține 560x.

$$560x-8000-3200+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Scădeți 3200 din -8000 pentru a obține -11200.

$$560x-11200+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Împărțiți 400 la 5 pentru a obține 80.

$$560x-11200+x\times 80\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Înmulțiți 80 cu 3 pentru a obține 240.

$$560x-11200+x\times 240=11x\left(x-20\right)$$

Combinați 560x cu x\times 240 pentru a obține 800x.

$$800x-11200=11x\left(x-20\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 11x cu x-20.

$$800x-11200=11x^{2}-220x$$

Scădeți 11x^{2} din ambele părți.

$$800x-11200-11x^{2}=-220x$$

Adăugați 220x la ambele părți.

$$800x-11200-11x^{2}+220x=0$$

Combinați 800x cu 220x pentru a obține 1020x.

$$1020x-11200-11x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-11x^{2}+1020x-11200=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -11, b cu 1020 și c cu -11200 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1020±\sqrt{1020^{2}-4\left(-11\right)\left(-11200\right)}}{2\left(-11\right)}$$

Ridicați 1020 la pătrat.

$$x=\frac{-1020±\sqrt{1040400-4\left(-11\right)\left(-11200\right)}}{2\left(-11\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -11.

$$x=\frac{-1020±\sqrt{1040400+44\left(-11200\right)}}{2\left(-11\right)}$$

Înmulțiți 44 cu -11200.

$$x=\frac{-1020±\sqrt{1040400-492800}}{2\left(-11\right)}$$

Adunați 1040400 cu -492800.

$$x=\frac{-1020±\sqrt{547600}}{2\left(-11\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 547600.

$$x=\frac{-1020±740}{2\left(-11\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -11.

$$x=\frac{-1020±740}{-22}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1020±740}{-22} atunci când ± este plus. Adunați -1020 cu 740.

$$x=-\frac{280}{-22}$$

Reduceți fracția \frac{-280}{-22} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{140}{11}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1020±740}{-22} atunci când ± este minus. Scădeți 740 din -1020.

$$x=-\frac{1760}{-22}$$

Împărțiți -1760 la -22.

$$x=80$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{140}{11} x=80$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,20, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-20\right), cel mai mic multiplu comun al x,x-20.

$$\left(x-20\right)\times 400+\left(x-20\right)\times \frac{400}{5}\times 2+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-20 cu 400.

$$400x-8000+\left(x-20\right)\times \frac{400}{5}\times 2+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Împărțiți 400 la 5 pentru a obține 80.

$$400x-8000+\left(x-20\right)\times 80\times 2+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Înmulțiți 80 cu 2 pentru a obține 160.

$$400x-8000+\left(x-20\right)\times 160+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-20 cu 160.

$$400x-8000+160x-3200+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Combinați 400x cu 160x pentru a obține 560x.

$$560x-8000-3200+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Scădeți 3200 din -8000 pentru a obține -11200.

$$560x-11200+x\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Împărțiți 400 la 5 pentru a obține 80.

$$560x-11200+x\times 80\times 3=11x\left(x-20\right)$$

Înmulțiți 80 cu 3 pentru a obține 240.

$$560x-11200+x\times 240=11x\left(x-20\right)$$

Combinați 560x cu x\times 240 pentru a obține 800x.

$$800x-11200=11x\left(x-20\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 11x cu x-20.

$$800x-11200=11x^{2}-220x$$

Scădeți 11x^{2} din ambele părți.

$$800x-11200-11x^{2}=-220x$$

Adăugați 220x la ambele părți.

$$800x-11200-11x^{2}+220x=0$$

Combinați 800x cu 220x pentru a obține 1020x.

$$1020x-11200-11x^{2}=0$$

Adăugați 11200 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$1020x-11x^{2}=11200$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-11x^{2}+1020x=11200$$

Se împart ambele părți la -11.

$$\frac{-11x^{2}+1020x}{-11}=\frac{11200}{-11}$$

Împărțirea la -11 anulează înmulțirea cu -11.

$$x^{2}+\frac{1020}{-11}x=\frac{11200}{-11}$$

Împărțiți 1020 la -11.

$$x^{2}-\frac{1020}{11}x=\frac{11200}{-11}$$

Împărțiți 11200 la -11.

$$x^{2}-\frac{1020}{11}x=-\frac{11200}{11}$$

Împărțiți -\frac{1020}{11}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{510}{11}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{510}{11} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1020}{11}x+\left(-\frac{510}{11}\right)^{2}=-\frac{11200}{11}+\left(-\frac{510}{11}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{510}{11} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1020}{11}x+\frac{260100}{121}=-\frac{11200}{11}+\frac{260100}{121}$$

Adunați -\frac{11200}{11} cu \frac{260100}{121} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1020}{11}x+\frac{260100}{121}=\frac{136900}{121}$$

Factor x^{2}-\frac{1020}{11}x+\frac{260100}{121}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{510}{11}\right)^{2}=\frac{136900}{121}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{510}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{136900}{121}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{510}{11}=\frac{370}{11} x-\frac{510}{11}=-\frac{370}{11}$$

Adunați \frac{510}{11} la ambele părți ale ecuației.

$$x=80 x=\frac{140}{11}$$