Rezolvați 3x^2+4x/2x+9=5

$$\frac{ 3 { x }^{ 2 } +4x }{ 2x+9 } = 5$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu -\frac{9}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2x+9.

$$3x^{2}+4x=5\left(2x+9\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu 2x+9.

$$3x^{2}+4x=10x+45$$

Scădeți 10x din ambele părți.

$$3x^{2}+4x-10x=45$$

Combinați 4x cu -10x pentru a obține -6x.

$$3x^{2}-6x=45$$

Scădeți 45 din ambele părți.

$$3x^{2}-6x-45=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x^{2}-2x-15=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -15.

$$1,-15 3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -2.

$$a=-5 b=3$$

Rescrieți x^{2}-2x-15 ca \left(x^{2}-5x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(3x-15\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și x+3=0.

$$x=5 x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu -\frac{9}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2x+9.

$$3x^{2}+4x=5\left(2x+9\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu 2x+9.

$$3x^{2}+4x=10x+45$$

Scădeți 10x din ambele părți.

$$3x^{2}+4x-10x=45$$

Combinați 4x cu -10x pentru a obține -6x.

$$3x^{2}-6x=45$$

Scădeți 45 din ambele părți.

$$3x^{2}-6x-45=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -6 și c cu -45 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3\left(-45\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 3\left(-45\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-12\left(-45\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -45.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+540}}{2\times 3}$$

Adunați 36 cu 540.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{576}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 576.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±24}{2\times 3}$$

Opusul lui -6 este 6.

$$x=\frac{6±24}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{6±24}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±24}{6} atunci când ± este plus. Adunați 6 cu 24.

$$x=\frac{30}{6}$$

Împărțiți 30 la 6.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±24}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 24 din 6.

$$x=-\frac{18}{6}$$

Împărțiți -18 la 6.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=5 x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu -\frac{9}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2x+9.

$$3x^{2}+4x=5\left(2x+9\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu 2x+9.

$$3x^{2}+4x=10x+45$$

Scădeți 10x din ambele părți.

$$3x^{2}+4x-10x=45$$

Combinați 4x cu -10x pentru a obține -6x.

$$3x^{2}-6x=45$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-6x}{3}=\frac{45}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{3}\right)x=\frac{45}{3}$$

Împărțiți -6 la 3.

$$x^{2}-2x=\frac{45}{3}$$

Împărțiți 45 la 3.

$$x^{2}-2x=15$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Adunați 15 cu 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplificați.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=-3$$