Rezolvați 3/x-1+3/x+1=-4

$$\frac{ 3 }{ x-1 } + \frac{ 3 }{ x+1 } = -4$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 3+\left(x-1\right)\times 3=-4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 3.

$$3x+3+\left(x-1\right)\times 3=-4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 3.

$$3x+3+3x-3=-4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 3x cu 3x pentru a obține 6x.

$$6x+3-3=-4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Scădeți 3 din 3 pentru a obține 0.

$$6x=-4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu x-1.

$$6x=\left(-4x+4\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4x+4 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$6x=-4x^{2}+4$$

Adăugați 4x^{2} la ambele părți.

$$6x+4x^{2}=4$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$6x+4x^{2}-4=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+6x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 6 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\left(-4\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\left(-4\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\left(-4\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+64}}{2\times 4}$$

Adunați 36 cu 64.

$$x=\frac{-6±\sqrt{100}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-6±10}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-6±10}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±10}{8} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 10.

$$x=\frac{4}{8}$$

Reduceți fracția \frac{4}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±10}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din -6.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Împărțiți -16 la 8.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{2} x=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 3+\left(x-1\right)\times 3=-4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 3.

$$3x+3+\left(x-1\right)\times 3=-4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 3.

$$3x+3+3x-3=-4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 3x cu 3x pentru a obține 6x.

$$6x+3-3=-4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Scădeți 3 din 3 pentru a obține 0.

$$6x=-4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu x-1.

$$6x=\left(-4x+4\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4x+4 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$6x=-4x^{2}+4$$

Adăugați 4x^{2} la ambele părți.

$$6x+4x^{2}=4$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x=4$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=\frac{4}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=\frac{4}{4}$$

Reduceți fracția \frac{6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{4}{4}$$

Împărțiți 4 la 4.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=1$$

Împărțiți \frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=1+\frac{9}{16}$$

Adunați 1 cu \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{5}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}$$

Scădeți \frac{3}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{2} x=-2$$