Rezolvați 3/x^2-4+2/x+2=1

$$\frac{ 3 }{ { x }^{ 2 } -4 } + \frac{ 2 }{ x+2 } =1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-4,x+2.

$$3+\left(x-2\right)\times 2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2.

$$3+2x-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Scădeți 4 din 3 pentru a obține -1.

$$-1+2x=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Să luăm \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$-1+2x=x^{2}-4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-1+2x-x^{2}=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$-1+2x-x^{2}+4=0$$

Adunați -1 și 4 pentru a obține 3.

$$3+2x-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=3 b=-1$$

Rescrieți -x^{2}+2x+3 ca \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Factor -x în primul și -1 în al doilea grup.

$$-x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(-x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și -x-1=0.

$$x=3 x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-4,x+2.

$$3+\left(x-2\right)\times 2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2.

$$3+2x-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Scădeți 4 din 3 pentru a obține -1.

$$-1+2x=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Să luăm \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$-1+2x=x^{2}-4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-1+2x-x^{2}=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$-1+2x-x^{2}+4=0$$

Adunați -1 și 4 pentru a obține 3.

$$3+2x-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 2 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 4 cu 12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-2±4}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-2±4}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±4}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 4.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Împărțiți 2 la -2.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±4}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din -2.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Împărțiți -6 la -2.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-4,x+2.

$$3+\left(x-2\right)\times 2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2.

$$3+2x-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Scădeți 4 din 3 pentru a obține -1.

$$-1+2x=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Să luăm \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$-1+2x=x^{2}-4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-1+2x-x^{2}=-4$$

Adăugați 1 la ambele părți.

$$2x-x^{2}=-4+1$$

Adunați -4 și 1 pentru a obține -3.

$$2x-x^{2}=-3$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x=-3$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{3}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{3}{-1}$$

Împărțiți 2 la -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{3}{-1}$$

Împărțiți -3 la -1.

$$x^{2}-2x=3$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Adunați 3 cu 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-1$$