Rezolvați 20/x-5=60/x+5+1

$$\frac{ 20 }{ x-5 } = \frac{ 60 }{ x+5 } +1$$

Rezolvați pentru x

$$x=5\sqrt{33}-20\approx 8,722813233$$

$$x=-5\sqrt{33}-20\approx -48,722813233$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -5,5, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-5\right)\left(x+5\right), cel mai mic multiplu comun al x-5,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu 20.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 60.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Să luăm \left(x-5\right)\left(x+5\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 5 la pătrat.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

Scădeți 25 din -300 pentru a obține -325.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Scădeți 60x din ambele părți.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

Combinați 20x cu -60x pentru a obține -40x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Scădeți -325 din ambele părți.

$$-40x+100-\left(-325\right)=x^{2}$$

Opusul lui -325 este 325.

$$-40x+100+325=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-40x+100+325-x^{2}=0$$

Adunați 100 și 325 pentru a obține 425.

$$-40x+425-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-40x+425=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -40 și c cu 425 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -40 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+4\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 425.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+1700}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 1600 cu 1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{3300}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3300.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -40 este 40.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 40 cu 10\sqrt{33}.

$$x=\frac{10\sqrt{33}+40}{-2}$$

Împărțiți 40+10\sqrt{33} la -2.

$$x=-5\sqrt{33}-20$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 10\sqrt{33} din 40.

$$x=\frac{40-10\sqrt{33}}{-2}$$

Împărțiți 40-10\sqrt{33} la -2.

$$x=5\sqrt{33}-20$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-5\sqrt{33}-20 x=5\sqrt{33}-20$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -5,5, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-5\right)\left(x+5\right), cel mai mic multiplu comun al x-5,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu 20.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 60.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Să luăm \left(x-5\right)\left(x+5\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 5 la pătrat.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

Scădeți 25 din -300 pentru a obține -325.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Scădeți 60x din ambele părți.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

Combinați 20x cu -60x pentru a obține -40x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-40x+100-x^{2}=-325$$

Scădeți 100 din ambele părți.

$$-40x-x^{2}=-325-100$$

Scădeți 100 din -325 pentru a obține -425.

$$-40x-x^{2}=-425$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-40x=-425$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-40x}{-1}=-\frac{425}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{-1}\right)x=-\frac{425}{-1}$$

Împărțiți -40 la -1.

$$x^{2}+40x=-\frac{425}{-1}$$

Împărțiți -425 la -1.

$$x^{2}+40x=425$$

Împărțiți 40, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 20. Apoi, adunați pătratul lui 20 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+40x+20^{2}=425+20^{2}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$x^{2}+40x+400=425+400$$

Adunați 425 cu 400.

$$x^{2}+40x+400=825$$

Factor x^{2}+40x+400. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+20\right)^{2}=825$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+20\right)^{2}}=\sqrt{825}$$

Simplificați.

$$x+20=5\sqrt{33} x+20=-5\sqrt{33}$$

Scădeți 20 din ambele părți ale ecuației.

$$x=5\sqrt{33}-20 x=-5\sqrt{33}-20$$