Rezolvați 2-x/x+2=x+3/3-x+6

$$\frac{ 2-x }{ x+2 } = \frac{ x+3 }{ 3-x } +6$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{70} + 4}{3} \approx 4,122200088$$

$$x=\frac{4-\sqrt{70}}{3}\approx -1,455533422$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x+2,3-x.

$$\left(x-3\right)\left(2-x\right)=-\left(2+x\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 2-x și a combina termenii similari.

$$5x-x^{2}-6=-\left(2+x\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -1 cu 2+x.

$$5x-x^{2}-6=\left(-2-x\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2-x cu x+3 și a combina termenii similari.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6-x^{2}+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6-x^{2}+\left(x^{2}-x-6\right)\times 6$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-x-6 cu 6.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6-x^{2}+6x^{2}-6x-36$$

Combinați -x^{2} cu 6x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6+5x^{2}-6x-36$$

Combinați -5x cu -6x pentru a obține -11x.

$$5x-x^{2}-6=-11x-6+5x^{2}-36$$

Scădeți 36 din -6 pentru a obține -42.

$$5x-x^{2}-6=-11x-42+5x^{2}$$

Adăugați 11x la ambele părți.

$$5x-x^{2}-6+11x=-42+5x^{2}$$

Combinați 5x cu 11x pentru a obține 16x.

$$16x-x^{2}-6=-42+5x^{2}$$

Scădeți -42 din ambele părți.

$$16x-x^{2}-6-\left(-42\right)=5x^{2}$$

Opusul lui -42 este 42.

$$16x-x^{2}-6+42=5x^{2}$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$16x-x^{2}-6+42-5x^{2}=0$$

Adunați -6 și 42 pentru a obține 36.

$$16x-x^{2}+36-5x^{2}=0$$

Combinați -x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -6x^{2}.

$$16x-6x^{2}+36=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-6x^{2}+16x+36=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -6, b cu 16 și c cu 36 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-6\right)\times 36}}{2\left(-6\right)}$$

Ridicați 16 la pătrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-6\right)\times 36}}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -6.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+24\times 36}}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți 24 cu 36.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+864}}{2\left(-6\right)}$$

Adunați 256 cu 864.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1120}}{2\left(-6\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1120.

$$x=\frac{-16±4\sqrt{70}}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -6.

$$x=\frac{-16±4\sqrt{70}}{-12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-16±4\sqrt{70}}{-12} atunci când ± este plus. Adunați -16 cu 4\sqrt{70}.

$$x=\frac{4\sqrt{70}-16}{-12}$$

Împărțiți -16+4\sqrt{70} la -12.

$$x=\frac{4-\sqrt{70}}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-16±4\sqrt{70}}{-12} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{70} din -16.

$$x=\frac{-4\sqrt{70}-16}{-12}$$

Împărțiți -16-4\sqrt{70} la -12.

$$x=\frac{\sqrt{70}+4}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{4-\sqrt{70}}{3} x=\frac{\sqrt{70}+4}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x+2,3-x.

$$\left(x-3\right)\left(2-x\right)=-\left(2+x\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 2-x și a combina termenii similari.

$$5x-x^{2}-6=-\left(2+x\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -1 cu 2+x.

$$5x-x^{2}-6=\left(-2-x\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2-x cu x+3 și a combina termenii similari.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6-x^{2}+\left(x-3\right)\left(x+2\right)\times 6$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6-x^{2}+\left(x^{2}-x-6\right)\times 6$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-x-6 cu 6.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6-x^{2}+6x^{2}-6x-36$$

Combinați -x^{2} cu 6x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x-x^{2}-6=-5x-6+5x^{2}-6x-36$$

Combinați -5x cu -6x pentru a obține -11x.

$$5x-x^{2}-6=-11x-6+5x^{2}-36$$

Scădeți 36 din -6 pentru a obține -42.

$$5x-x^{2}-6=-11x-42+5x^{2}$$

Adăugați 11x la ambele părți.

$$5x-x^{2}-6+11x=-42+5x^{2}$$

Combinați 5x cu 11x pentru a obține 16x.

$$16x-x^{2}-6=-42+5x^{2}$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$16x-x^{2}-6-5x^{2}=-42$$

Combinați -x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -6x^{2}.

$$16x-6x^{2}-6=-42$$

Adăugați 6 la ambele părți.

$$16x-6x^{2}=-42+6$$

Adunați -42 și 6 pentru a obține -36.

$$16x-6x^{2}=-36$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+16x=-36$$

Se împart ambele părți la -6.

$$\frac{-6x^{2}+16x}{-6}=-\frac{36}{-6}$$

Împărțirea la -6 anulează înmulțirea cu -6.

$$x^{2}+\frac{16}{-6}x=-\frac{36}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{16}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{36}{-6}$$

Împărțiți -36 la -6.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=6$$

Împărțiți -\frac{8}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{4}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=6+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{4}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=6+\frac{16}{9}$$

Adunați 6 cu \frac{16}{9}.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{70}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{70}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{70}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{70}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{70}}{3}$$

Adunați \frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{70}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{70}}{3}$$