Rezolvați frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Rezolvați pentru b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Pași pentru rezolvarea ecuațiilor cu radicali

Raționalizați numitor de \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Să luăm \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Ridicați 2 la pătrat. Ridicați \sqrt{5} la pătrat.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Scădeți 5 din 4 pentru a obține -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Înmulțiți 2+\sqrt{5} cu 2+\sqrt{5} pentru a obține \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Adunați 4 și 5 pentru a obține 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Orice număr împărțit la -1 dă opusul său. Pentru a găsi opusul lui 9+4\sqrt{5}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Raționalizați numitor de \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Să luăm \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Ridicați 2 la pătrat. Ridicați \sqrt{5} la pătrat.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Scădeți 5 din 4 pentru a obține -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Înmulțiți 2-\sqrt{5} cu 2-\sqrt{5} pentru a obține \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Adunați 4 și 5 pentru a obține 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Orice număr împărțit la -1 dă opusul său. Pentru a găsi opusul lui 9-4\sqrt{5}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Scădeți 9 din -9 pentru a obține -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Combinați -4\sqrt{5} cu 4\sqrt{5} pentru a obține 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Scădeți a din ambele părți.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Rezolvați pentru a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$