Rezolvați frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Evaluați

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Pașii soluției

Raționalizați numitor de \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Să luăm \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Ridicați 2 la pătrat. Ridicați \sqrt{3} la pătrat.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Scădeți 3 din 4 pentru a obține 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Orice lucru împărțit la unu este egal cu sine însuși.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Înmulțiți 2+\sqrt{3} cu 2+\sqrt{3} pentru a obține \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Raționalizați numitor de \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Să luăm \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Ridicați 2 la pătrat. Ridicați \sqrt{3} la pătrat.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Scădeți 3 din 4 pentru a obține 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Orice lucru împărțit la unu este egal cu sine însuși.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Înmulțiți 2-\sqrt{3} cu 2-\sqrt{3} pentru a obține \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Adunați 4 și 3 pentru a obține 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Adunați 4 și 3 pentru a obține 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 7-4\sqrt{3}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

Opusul lui -4\sqrt{3} este 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Scădeți 7 din 7 pentru a obține 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Combinați 4\sqrt{3} cu 4\sqrt{3} pentru a obține 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$