Rezolvați 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combinați 2x cu 3x pentru a obține 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Scădeți 9 din -4 pentru a obține -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-9 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Adăugați 15x la ambele părți.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Combinați 5x cu 15x pentru a obține 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Scădeți 18 din ambele părți.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Scădeți 18 din -13 pentru a obține -31.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 20 și c cu -31 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 400 cu -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 28.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -20 cu 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Împărțiți -20+2\sqrt{7} la -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{7} din -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Împărțiți -20-2\sqrt{7} la -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combinați 2x cu 3x pentru a obține 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Scădeți 9 din -4 pentru a obține -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-9 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Adăugați 15x la ambele părți.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Combinați 5x cu 15x pentru a obține 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Adăugați 13 la ambele părți.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

Adunați 18 și 13 pentru a obține 31.

$$20x-3x^{2}=31$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Împărțiți 20 la -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Împărțiți 31 la -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Împărțiți -\frac{20}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{10}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{10}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{10}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Adunați -\frac{31}{3} cu \frac{100}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Adunați \frac{10}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$