Rezolvați 2/x=4x+7/5x^2+1

$$\frac{ 2 }{ x } = \frac{ 4x+7 }{ 5 { x }^{ 2 } +1 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(5x^{2}+1\right), cel mai mic multiplu comun al x,5x^{2}+1.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x^{2}+1 cu 2.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu 4x+7.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Combinați 10x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține 6x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Scădeți 7x din ambele părți.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$6x^{2}-7x+2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=6\times 2=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-4 b=-3$$

Rescrieți 6x^{2}-7x+2 ca \left(6x^{2}-4x\right)+\left(-3x+2\right).

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(-3x+2\right)$$

Factor 2x în primul și -1 în al doilea grup.

$$2x\left(3x-2\right)-\left(3x-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-2\right)\left(2x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-2=0 și 2x-1=0.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(5x^{2}+1\right), cel mai mic multiplu comun al x,5x^{2}+1.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x^{2}+1 cu 2.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu 4x+7.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Combinați 10x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține 6x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Scădeți 7x din ambele părți.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-7x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -7 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Adunați 49 cu -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 6}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{7±1}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±1}{12} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 1.

$$x=\frac{8}{12}$$

Reduceți fracția \frac{8}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±1}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din 7.

$$x=\frac{6}{12}$$

Reduceți fracția \frac{6}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(5x^{2}+1\right), cel mai mic multiplu comun al x,5x^{2}+1.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x^{2}+1 cu 2.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu 4x+7.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Combinați 10x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține 6x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Scădeți 7x din ambele părți.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Scădeți 2 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$6x^{2}-7x=-2$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

Împărțiți -\frac{7}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{12}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

Adunați -\frac{1}{3} cu \frac{49}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

Adunați \frac{7}{12} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$