Rezolvați 154/1+x-90/1-x=40

$$\frac{ 154 }{ 1+x } - \frac{ 90 }{ 1-x } = 40$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 1+x,1-x.

$$\left(x-1\right)\times 154-\left(-\left(1+x\right)\times 90\right)=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 154.

$$154x-154-\left(-\left(1+x\right)\times 90\right)=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Înmulțiți -1 cu 90 pentru a obține -90.

$$154x-154-\left(-90\left(1+x\right)\right)=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -90 cu 1+x.

$$154x-154-\left(-90-90x\right)=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui -90-90x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$154x-154+90+90x=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Adunați -154 și 90 pentru a obține -64.

$$154x-64+90x=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 154x cu 90x pentru a obține 244x.

$$244x-64=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 40 cu x-1.

$$244x-64=\left(40x-40\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 40x-40 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$244x-64=40x^{2}-40$$

Scădeți 40x^{2} din ambele părți.

$$244x-64-40x^{2}=-40$$

Adăugați 40 la ambele părți.

$$244x-64-40x^{2}+40=0$$

Adunați -64 și 40 pentru a obține -24.

$$244x-24-40x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-40x^{2}+244x-24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -40, b cu 244 și c cu -24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-244±\sqrt{244^{2}-4\left(-40\right)\left(-24\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Ridicați 244 la pătrat.

$$x=\frac{-244±\sqrt{59536-4\left(-40\right)\left(-24\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -40.

$$x=\frac{-244±\sqrt{59536+160\left(-24\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Înmulțiți 160 cu -24.

$$x=\frac{-244±\sqrt{59536-3840}}{2\left(-40\right)}$$

Adunați 59536 cu -3840.

$$x=\frac{-244±\sqrt{55696}}{2\left(-40\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 55696.

$$x=\frac{-244±236}{2\left(-40\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -40.

$$x=\frac{-244±236}{-80}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-244±236}{-80} atunci când ± este plus. Adunați -244 cu 236.

$$x=-\frac{8}{-80}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{-80} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-244±236}{-80} atunci când ± este minus. Scădeți 236 din -244.

$$x=-\frac{480}{-80}$$

Împărțiți -480 la -80.

$$x=6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{10} x=6$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 1+x,1-x.

$$\left(x-1\right)\times 154-\left(-\left(1+x\right)\times 90\right)=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 154.

$$154x-154-\left(-\left(1+x\right)\times 90\right)=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Înmulțiți -1 cu 90 pentru a obține -90.

$$154x-154-\left(-90\left(1+x\right)\right)=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -90 cu 1+x.

$$154x-154-\left(-90-90x\right)=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui -90-90x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$154x-154+90+90x=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Adunați -154 și 90 pentru a obține -64.

$$154x-64+90x=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 154x cu 90x pentru a obține 244x.

$$244x-64=40\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 40 cu x-1.

$$244x-64=\left(40x-40\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 40x-40 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$244x-64=40x^{2}-40$$

Scădeți 40x^{2} din ambele părți.

$$244x-64-40x^{2}=-40$$

Adăugați 64 la ambele părți.

$$244x-40x^{2}=-40+64$$

Adunați -40 și 64 pentru a obține 24.

$$244x-40x^{2}=24$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-40x^{2}+244x=24$$

Se împart ambele părți la -40.

$$\frac{-40x^{2}+244x}{-40}=\frac{24}{-40}$$

Împărțirea la -40 anulează înmulțirea cu -40.

$$x^{2}+\frac{244}{-40}x=\frac{24}{-40}$$

Reduceți fracția \frac{244}{-40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{61}{10}x=\frac{24}{-40}$$

Reduceți fracția \frac{24}{-40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x^{2}-\frac{61}{10}x=-\frac{3}{5}$$

Împărțiți -\frac{61}{10}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{61}{20}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{61}{20} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{61}{10}x+\left(-\frac{61}{20}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{61}{20}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{61}{20} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{61}{10}x+\frac{3721}{400}=-\frac{3}{5}+\frac{3721}{400}$$

Adunați -\frac{3}{5} cu \frac{3721}{400} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{61}{10}x+\frac{3721}{400}=\frac{3481}{400}$$

Factor x^{2}-\frac{61}{10}x+\frac{3721}{400}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{61}{20}\right)^{2}=\frac{3481}{400}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{61}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3481}{400}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{61}{20}=\frac{59}{20} x-\frac{61}{20}=-\frac{59}{20}$$

Adunați \frac{61}{20} la ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=\frac{1}{10}$$