Rezolvați 10/x^2-2x-8+5/x+2+1=0

$$\frac{ 10 }{ { x }^{ 2 } -2x-8 } + \frac{ 5 }{ x+2 } +1=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-6$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-4\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 5.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Scădeți 20 din 10 pentru a obține -10.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Combinați 5x cu -2x pentru a obține 3x.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Scădeți 8 din -10 pentru a obține -18.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+3x-18 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=-18$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-3 b=6$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și x+6=0.

$$x=3 x=-6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-4\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 5.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Scădeți 20 din 10 pentru a obține -10.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Combinați 5x cu -2x pentru a obține 3x.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Scădeți 8 din -10 pentru a obține -18.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-18. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=1\left(-18\right)=-18$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-3 b=6$$

Rescrieți x^{2}+3x-18 ca \left(x^{2}-3x\right)+\left(6x-18\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(6x-18\right)$$

Factor x în primul și 6 în al doilea grup.

$$x\left(x-3\right)+6\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și x+6=0.

$$x=3 x=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-4\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 5.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Scădeți 20 din 10 pentru a obține -10.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Combinați 5x cu -2x pentru a obține 3x.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Scădeți 8 din -10 pentru a obține -18.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 3 și c cu -18 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-18\right)}}{2}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-18\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -18.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+72}}{2}$$

Adunați 9 cu 72.

$$x=\frac{-3±\sqrt{81}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-3±9}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±9}{2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 9.

$$x=\frac{6}{2}$$

Împărțiți 6 la 2.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±9}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din -3.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Împărțiți -12 la 2.

$$x=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-4\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 5.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Scădeți 20 din 10 pentru a obține -10.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Combinați 5x cu -2x pentru a obține 3x.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Scădeți 8 din -10 pentru a obține -18.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Adăugați 18 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$3x+x^{2}=18$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x=18$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=18+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=18+\frac{9}{4}$$

Adunați 18 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{81}{4}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{9}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-6$$