Rezolvați 1/9x^2+x+9/4=0

$$\frac{ 1 }{ 9 } { x }^{ 2 } +x+ \frac{ 9 }{ 4 } =0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu \frac{1}{9}, b cu 1 și c cu \frac{9}{4} în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times \frac{1}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times \frac{1}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Înmulțiți -4 cu \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-\frac{4}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Înmulțiți -\frac{4}{9} cu \frac{9}{4} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-1}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Adunați 1 cu -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{0}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{1}{2\times \frac{1}{9}}$$

Înmulțiți 2 cu \frac{1}{9}.

$$x=-\frac{1}{\frac{2}{9}}$$

Împărțiți -1 la \frac{2}{9} înmulțind pe -1 cu reciproca lui \frac{2}{9}.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}=0$$

Scădeți \frac{9}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=-\frac{9}{4}$$

Scăderea \frac{9}{4} din el însuși are ca rezultat 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Se înmulțesc ambele părți cu 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}+x}{\frac{1}{9}}=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}$$

Împărțirea la \frac{1}{9} anulează înmulțirea cu \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{1}{\frac{1}{9}}x=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}$$

Împărțiți 1 la \frac{1}{9} înmulțind pe 1 cu reciproca lui \frac{1}{9}.

$$x^{2}+9x=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}$$

Împărțiți -\frac{9}{4} la \frac{1}{9} înmulțind pe -\frac{9}{4} cu reciproca lui \frac{1}{9}.

$$x^{2}+9x=-\frac{81}{4}$$

Împărțiți 9, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{9}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{81}{4}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{9}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{-81+81}{4}$$

Adunați -\frac{81}{4} cu \frac{81}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=0$$

Factor x^{2}+9x+\frac{81}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x+\frac{9}{2}=0 x+\frac{9}{2}=0$$

Scădeți \frac{9}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{9}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=-\frac{9}{2}$$