Rezolvați 1/2-x-1=1/x-2-6-x/3x^2-12

$$\frac{ 1 }{ 2-x } -1 = \frac{ 1 }{ x-2 } - \frac{ 6-x }{ 3 { x }^{ 2 } -12 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al 2-x,x-2,3x^{2}-12.

$$-6-3x+3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)=3x+6-\left(6-x\right)$$

Înmulțiți 3 cu -1 pentru a obține -3.

$$-6-3x-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)=3x+6-\left(6-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3 cu x-2.

$$-6-3x+\left(-3x+6\right)\left(x+2\right)=3x+6-\left(6-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3x+6 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$-6-3x-3x^{2}+12=3x+6-\left(6-x\right)$$

Adunați -6 și 12 pentru a obține 6.

$$6-3x-3x^{2}=3x+6-\left(6-x\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 6-x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$6-3x-3x^{2}=3x+6-6+x$$

Scădeți 6 din 6 pentru a obține 0.

$$6-3x-3x^{2}=3x+x$$

Combinați 3x cu x pentru a obține 4x.

$$6-3x-3x^{2}=4x$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$6-3x-3x^{2}-4x=0$$

Combinați -3x cu -4x pentru a obține -7x.

$$6-7x-3x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-3x^{2}-7x+6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx+6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=-3\times 6=-18$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=2 b=-9$$

Rescrieți -3x^{2}-7x+6 ca \left(-3x^{2}+2x\right)+\left(-9x+6\right).

$$\left(-3x^{2}+2x\right)+\left(-9x+6\right)$$

Factor -x în primul și -3 în al doilea grup.

$$-x\left(3x-2\right)-3\left(3x-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-2\right)\left(-x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-2=0 și -x-3=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al 2-x,x-2,3x^{2}-12.

$$-6-3x+3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)=3x+6-\left(6-x\right)$$

Înmulțiți 3 cu -1 pentru a obține -3.

$$-6-3x-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)=3x+6-\left(6-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3 cu x-2.

$$-6-3x+\left(-3x+6\right)\left(x+2\right)=3x+6-\left(6-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3x+6 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$-6-3x-3x^{2}+12=3x+6-\left(6-x\right)$$

Adunați -6 și 12 pentru a obține 6.

$$6-3x-3x^{2}=3x+6-\left(6-x\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 6-x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$6-3x-3x^{2}=3x+6-6+x$$

Scădeți 6 din 6 pentru a obține 0.

$$6-3x-3x^{2}=3x+x$$

Combinați 3x cu x pentru a obține 4x.

$$6-3x-3x^{2}=4x$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$6-3x-3x^{2}-4x=0$$

Combinați -3x cu -4x pentru a obține -7x.

$$6-7x-3x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}-7x+6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu -7 și c cu 6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 6}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-3\right)\times 6}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+12\times 6}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 49 cu 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\left(-3\right)}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±11}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{7±11}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±11}{-6} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 11.

$$x=\frac{18}{-6}$$

Împărțiți 18 la -6.

$$x=-3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±11}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din 7.

$$x=-\frac{4}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-3 x=\frac{2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al 2-x,x-2,3x^{2}-12.

$$-6-3x+3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)=3x+6-\left(6-x\right)$$

Înmulțiți 3 cu -1 pentru a obține -3.

$$-6-3x-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)=3x+6-\left(6-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3 cu x-2.

$$-6-3x+\left(-3x+6\right)\left(x+2\right)=3x+6-\left(6-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3x+6 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$-6-3x-3x^{2}+12=3x+6-\left(6-x\right)$$

Adunați -6 și 12 pentru a obține 6.

$$6-3x-3x^{2}=3x+6-\left(6-x\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 6-x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$6-3x-3x^{2}=3x+6-6+x$$

Scădeți 6 din 6 pentru a obține 0.

$$6-3x-3x^{2}=3x+x$$

Combinați 3x cu x pentru a obține 4x.

$$6-3x-3x^{2}=4x$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$6-3x-3x^{2}-4x=0$$

Combinați -3x cu -4x pentru a obține -7x.

$$6-7x-3x^{2}=0$$

Scădeți 6 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-7x-3x^{2}=-6$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-7x=-6$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}-7x}{-3}=-\frac{6}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{7}{-3}\right)x=-\frac{6}{-3}$$

Împărțiți -7 la -3.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=-\frac{6}{-3}$$

Împărțiți -6 la -3.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=2$$

Împărțiți \frac{7}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=2+\frac{49}{36}$$

Adunați 2 cu \frac{49}{36}.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{121}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{6}=\frac{11}{6} x+\frac{7}{6}=-\frac{11}{6}$$

Scădeți \frac{7}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2}{3} x=-3$$