Rezolvați -1/x-1+1/x+1=2/x+2

$$\frac{ -1 }{ x-1 } + \frac{ 1 }{ x+1 } = \frac{ 2 }{ x+2 }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x+1,x+2.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+3x+2 cu -1.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Combinați -x^{2} cu x^{2} pentru a obține 0.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Combinați -3x cu x pentru a obține -2x.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Scădeți 2 din -2 pentru a obține -4.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-1 cu 2.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

Adăugați 2 la ambele părți.

$$-2x-4-2x^{2}+2=0$$

Adunați -4 și 2 pentru a obține -2.

$$-2x-2-2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}-2x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu -2 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 4 cu -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-12}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{3}i}{-4}$$

Împărțiți 2+2i\sqrt{3} la -4.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{3} din 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+2}{-4}$$

Împărțiți 2-2i\sqrt{3} la -4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x+1,x+2.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+3x+2 cu -1.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Combinați -x^{2} cu x^{2} pentru a obține 0.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Combinați -3x cu x pentru a obține -2x.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Scădeți 2 din -2 pentru a obține -4.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-1 cu 2.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$-2x-2x^{2}=-2+4$$

Adunați -2 și 4 pentru a obține 2.

$$-2x-2x^{2}=2$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-2x=2$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=\frac{2}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=\frac{2}{-2}$$

Împărțiți -2 la -2.

$$x^{2}+x=\frac{2}{-2}$$

Împărțiți 2 la -2.

$$x^{2}+x=-1$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Adunați -1 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$