Rezolvați x^2-1/2-11x=11

$$\frac{ { x }^{ 2 } -1 }{ 2 } -11x=11$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=23$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$x^{2}-1-22x=22$$

Scădeți 22 din ambele părți.

$$x^{2}-1-22x-22=0$$

Scădeți 22 din -1 pentru a obține -23.

$$x^{2}-23-22x=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}-22x-23=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-22x-23 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-22 ab=-23$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-23 b=1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-23\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-23=0 și x+1=0.

$$x=23 x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$x^{2}-1-22x=22$$

Scădeți 22 din ambele părți.

$$x^{2}-1-22x-22=0$$

Scădeți 22 din -1 pentru a obține -23.

$$x^{2}-23-22x=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}-22x-23=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-23. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-22 ab=1\left(-23\right)=-23$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-23 b=1$$

Rescrieți x^{2}-22x-23 ca \left(x^{2}-23x\right)+\left(x-23\right).

$$\left(x^{2}-23x\right)+\left(x-23\right)$$

Scoateți factorul comun x din x^{2}-23x.

$$x\left(x-23\right)+x-23$$

Scoateți termenul comun x-23 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-23\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-23=0 și x+1=0.

$$x=23 x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$x^{2}-1-22x=22$$

Scădeți 22 din ambele părți.

$$x^{2}-1-22x-22=0$$

Scădeți 22 din -1 pentru a obține -23.

$$x^{2}-23-22x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-22x-23=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -22 și c cu -23 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-23\right)}}{2}$$

Ridicați -22 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-23\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -23.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+92}}{2}$$

Adunați 484 cu 92.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{576}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 576.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±24}{2}$$

Opusul lui -22 este 22.

$$x=\frac{22±24}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{22±24}{2} atunci când ± este plus. Adunați 22 cu 24.

$$x=\frac{46}{2}$$

Împărțiți 46 la 2.

$$x=23$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{22±24}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 24 din 22.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Împărțiți -2 la 2.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=23 x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$x^{2}-1-22x=22$$

Adăugați 1 la ambele părți.

$$x^{2}-22x=22+1$$

Adunați 22 și 1 pentru a obține 23.

$$x^{2}-22x=23$$

Împărțiți -22, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -11. Apoi, adunați pătratul lui -11 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-22x+\left(-11\right)^{2}=23+\left(-11\right)^{2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x^{2}-22x+121=23+121$$

Adunați 23 cu 121.

$$x^{2}-22x+121=144$$

Factor x^{2}-22x+121. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-11\right)^{2}=144$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-11\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Simplificați.

$$x-11=12 x-11=-12$$

Adunați 11 la ambele părți ale ecuației.

$$x=23 x=-1$$