Rezolvați frac{sqrt{2}left(4-sqrt{2}right)}{2left(sqrt{2}+1right)}

$$\frac{ \sqrt{ 2 } \left( 4- \sqrt{ 2 } \right) }{ 2 \left( \sqrt{ 2 } +1 \right) }$$

Evaluați

$$5-3\sqrt{2}\approx 0,757359313$$

Pașii soluției

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți \sqrt{2} cu 4-\sqrt{2}.

$$\frac{4\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu \sqrt{2}+1.

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2}$$

Raționalizați numitor de \frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 2\sqrt{2}-2.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}$$

Să luăm \left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Extindeți \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\times 2-2^{2}}$$

Înmulțiți 4 cu 2 pentru a obține 8.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-2^{2}}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-4}$$

Scădeți 4 din 8 pentru a obține 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4}$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de 4\sqrt{2}-2 la fiecare termen de 2\sqrt{2}-2.

$$\frac{8\left(\sqrt{2}\right)^{2}-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\frac{8\times 2-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Înmulțiți 8 cu 2 pentru a obține 16.

$$\frac{16-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Combinați -8\sqrt{2} cu -4\sqrt{2} pentru a obține -12\sqrt{2}.

$$\frac{16-12\sqrt{2}+4}{4}$$

Adunați 16 și 4 pentru a obține 20.

$$\frac{20-12\sqrt{2}}{4}$$

Împărțiți fiecare termen din 20-12\sqrt{2} la 4 pentru a obține 5-3\sqrt{2}.

$$5-3\sqrt{2}$$