Rezolvați x-3/x+6+x-2/x-3=x^2/x^2+3x-18

$$\frac { x - 3 } { x + 6 } + \frac { x - 2 } { x - 3 } = \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 3 x - 18 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -6,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x+6\right), cel mai mic multiplu comun al x+6,x-3,x^{2}+3x-18.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Înmulțiți x-3 cu x-3 pentru a obține \left(x-3\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+6 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+4x-12=x^{2}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+4x-12=x^{2}$$

Combinați -6x cu 4x pentru a obține -2x.

$$2x^{2}-2x+9-12=x^{2}$$

Scădeți 12 din 9 pentru a obține -3.

$$2x^{2}-2x-3=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}-2x-3-x^{2}=0$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-2x-3 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=-3$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-3 b=1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 3.

$$x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -6,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x+6\right), cel mai mic multiplu comun al x+6,x-3,x^{2}+3x-18.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Înmulțiți x-3 cu x-3 pentru a obține \left(x-3\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+6 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+4x-12=x^{2}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+4x-12=x^{2}$$

Combinați -6x cu 4x pentru a obține -2x.

$$2x^{2}-2x+9-12=x^{2}$$

Scădeți 12 din 9 pentru a obține -3.

$$2x^{2}-2x-3=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}-2x-3-x^{2}=0$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-3 b=1$$

Rescrieți x^{2}-2x-3 ca \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Scoateți factorul comun x din x^{2}-3x.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 3.

$$x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -6,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x+6\right), cel mai mic multiplu comun al x+6,x-3,x^{2}+3x-18.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Înmulțiți x-3 cu x-3 pentru a obține \left(x-3\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+6 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+4x-12=x^{2}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+4x-12=x^{2}$$

Combinați -6x cu 4x pentru a obține -2x.

$$2x^{2}-2x+9-12=x^{2}$$

Scădeți 12 din 9 pentru a obține -3.

$$2x^{2}-2x-3=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}-2x-3-x^{2}=0$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -2 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-3\right)}}{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-3\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2}$$

Adunați 4 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±4}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±4}{2} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 4.

$$x=\frac{6}{2}$$

Împărțiți 6 la 2.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±4}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din 2.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Împărțiți -2 la 2.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 3.

$$x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -6,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x+6\right), cel mai mic multiplu comun al x+6,x-3,x^{2}+3x-18.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Înmulțiți x-3 cu x-3 pentru a obține \left(x-3\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+6 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+4x-12=x^{2}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+4x-12=x^{2}$$

Combinați -6x cu 4x pentru a obține -2x.

$$2x^{2}-2x+9-12=x^{2}$$

Scădeți 12 din 9 pentru a obține -3.

$$2x^{2}-2x-3=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}-2x-3-x^{2}=0$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Adăugați 3 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$x^{2}-2x=3$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Adunați 3 cu 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 3.

$$x=-1$$