Rezolvați x-2/x-1-x-1/x-2=x^2/x^2-3x+2

$$\frac { x - 2 } { x - 1 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x-2,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x-1\right)=x^{2}$$

Înmulțiți x-2 cu x-2 pentru a obține \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}-\left(x-1\right)\left(x-1\right)=x^{2}$$

Înmulțiți x-1 cu x-1 pentru a obține \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}-\left(x-1\right)^{2}=x^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-\left(x-1\right)^{2}=x^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-\left(x^{2}-2x+1\right)=x^{2}$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-2x+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}-4x+4-x^{2}+2x-1=x^{2}$$

Combinați x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 0.

$$-4x+4+2x-1=x^{2}$$

Combinați -4x cu 2x pentru a obține -2x.

$$-2x+4-1=x^{2}$$

Scădeți 1 din 4 pentru a obține 3.

$$-2x+3=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-2x+3-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}-2x+3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=-3=-3$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=1 b=-3$$

Rescrieți -x^{2}-2x+3 ca \left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Scoateți termenul comun -x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+1\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+1=0 și x+3=0.

$$x=1 x=-3$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 1.

$$x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x-2,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x-1\right)=x^{2}$$

Înmulțiți x-2 cu x-2 pentru a obține \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}-\left(x-1\right)\left(x-1\right)=x^{2}$$

Înmulțiți x-1 cu x-1 pentru a obține \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}-\left(x-1\right)^{2}=x^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-\left(x-1\right)^{2}=x^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-\left(x^{2}-2x+1\right)=x^{2}$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-2x+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}-4x+4-x^{2}+2x-1=x^{2}$$

Combinați x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 0.

$$-4x+4+2x-1=x^{2}$$

Combinați -4x cu 2x pentru a obține -2x.

$$-2x+4-1=x^{2}$$

Scădeți 1 din 4 pentru a obține 3.

$$-2x+3=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-2x+3-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-2x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -2 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 4 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±4}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{2±4}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±4}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 4.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Împărțiți 6 la -2.

$$x=-3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±4}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din 2.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Împărțiți -2 la -2.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-3 x=1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 1.

$$x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x-2,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x-1\right)=x^{2}$$

Înmulțiți x-2 cu x-2 pentru a obține \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}-\left(x-1\right)\left(x-1\right)=x^{2}$$

Înmulțiți x-1 cu x-1 pentru a obține \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}-\left(x-1\right)^{2}=x^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-\left(x-1\right)^{2}=x^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-\left(x^{2}-2x+1\right)=x^{2}$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-2x+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}-4x+4-x^{2}+2x-1=x^{2}$$

Combinați x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 0.

$$-4x+4+2x-1=x^{2}$$

Combinați -4x cu 2x pentru a obține -2x.

$$-2x+4-1=x^{2}$$

Scădeți 1 din 4 pentru a obține 3.

$$-2x+3=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-2x+3-x^{2}=0$$

Scădeți 3 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-2x-x^{2}=-3$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=-3$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{3}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{3}{-1}$$

Împărțiți -2 la -1.

$$x^{2}+2x=-\frac{3}{-1}$$

Împărțiți -3 la -1.

$$x^{2}+2x=3$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+2x+1^{2}=3+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x^{2}+2x+1=3+1$$

Adunați 3 cu 1.

$$x^{2}+2x+1=4$$

Factor x^{2}+2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x+1=2 x+1=-2$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-3$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 1.

$$x=-3$$