Rezolvați x-2/x^2-x-6=3/2x+4-x/4-x^2

$$\frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - x - 6 } = \frac { 3 } { 2 x + 4 } - \frac { x } { 4 - x ^ { 2 } }$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-4 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-5x+6 cu 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6-2x cu x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 6x-2x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Combinați -15x cu -6x pentru a obține -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Combinați 3x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Combinați 2x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Adăugați 21x la ambele părți.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Combinați -8x cu 21x pentru a obține 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Scădeți 18 din ambele părți.

$$-3x^{2}+13x+8-18=0$$

Scădeți 18 din 8 pentru a obține -10.

$$-3x^{2}+13x-10=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx-10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=-3\left(-10\right)=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=10 b=3$$

Rescrieți -3x^{2}+13x-10 ca \left(-3x^{2}+10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(-3x^{2}+10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Scoateți factorul comun -x din -3x^{2}+10x.

$$-x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Scoateți termenul comun 3x-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-10\right)\left(-x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-10=0 și -x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-4 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-5x+6 cu 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6-2x cu x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 6x-2x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Combinați -15x cu -6x pentru a obține -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Combinați 3x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Combinați 2x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Adăugați 21x la ambele părți.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Combinați -8x cu 21x pentru a obține 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Scădeți 18 din ambele părți.

$$-3x^{2}+13x+8-18=0$$

Scădeți 18 din 8 pentru a obține -10.

$$-3x^{2}+13x-10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 13 și c cu -10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-3\right)\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 13 la pătrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-3\right)\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+12\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu -10.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 169 cu -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-13±7}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±7}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -13 cu 7.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Împărțiți -6 la -6.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±7}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -13.

$$x=-\frac{20}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{10}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=\frac{10}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-4 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-5x+6 cu 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6-2x cu x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 6x-2x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Combinați -15x cu -6x pentru a obține -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Combinați 3x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Combinați 2x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Adăugați 21x la ambele părți.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Combinați -8x cu 21x pentru a obține 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$-3x^{2}+13x=18-8$$

Scădeți 8 din 18 pentru a obține 10.

$$-3x^{2}+13x=10$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+13x}{-3}=\frac{10}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{13}{-3}x=\frac{10}{-3}$$

Împărțiți 13 la -3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=\frac{10}{-3}$$

Împărțiți 10 la -3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Împărțiți -\frac{13}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{169}{36}$$

Adunați -\frac{10}{3} cu \frac{169}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{49}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{13}{6}=\frac{7}{6} x-\frac{13}{6}=-\frac{7}{6}$$

Adunați \frac{13}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{10}{3} x=1$$