Rezolvați x/x-5+6/x+7=12x/(x-5)(x+7)

$$\frac { x } { x - 5 } + \frac { 6 } { x + 7 } = \frac { 12 x } { ( x - 5 ) ( x + 7 ) }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-6$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -7,5, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-5\right)\left(x+7\right), cel mai mic multiplu comun al x-5,x+7,\left(x-5\right)\left(x+7\right).

$$\left(x+7\right)x+\left(x-5\right)\times 6=12x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+7 cu x.

$$x^{2}+7x+\left(x-5\right)\times 6=12x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 6.

$$x^{2}+7x+6x-30=12x$$

Combinați 7x cu 6x pentru a obține 13x.

$$x^{2}+13x-30=12x$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$x^{2}+13x-30-12x=0$$

Combinați 13x cu -12x pentru a obține x.

$$x^{2}+x-30=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+x-30 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-5 b=6$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 5.

$$x=-6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -7,5, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-5\right)\left(x+7\right), cel mai mic multiplu comun al x-5,x+7,\left(x-5\right)\left(x+7\right).

$$\left(x+7\right)x+\left(x-5\right)\times 6=12x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+7 cu x.

$$x^{2}+7x+\left(x-5\right)\times 6=12x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 6.

$$x^{2}+7x+6x-30=12x$$

Combinați 7x cu 6x pentru a obține 13x.

$$x^{2}+13x-30=12x$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$x^{2}+13x-30-12x=0$$

Combinați 13x cu -12x pentru a obține x.

$$x^{2}+x-30=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-30. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-5 b=6$$

Rescrieți x^{2}+x-30 ca \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Factor x în primul și 6 în al doilea grup.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 5.

$$x=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -7,5, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-5\right)\left(x+7\right), cel mai mic multiplu comun al x-5,x+7,\left(x-5\right)\left(x+7\right).

$$\left(x+7\right)x+\left(x-5\right)\times 6=12x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+7 cu x.

$$x^{2}+7x+\left(x-5\right)\times 6=12x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 6.

$$x^{2}+7x+6x-30=12x$$

Combinați 7x cu 6x pentru a obține 13x.

$$x^{2}+13x-30=12x$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$x^{2}+13x-30-12x=0$$

Combinați 13x cu -12x pentru a obține x.

$$x^{2}+x-30=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 1 și c cu -30 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-30\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -30.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2}$$

Adunați 1 cu 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-1±11}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±11}{2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 11.

$$x=\frac{10}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±11}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -1.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Împărțiți -12 la 2.

$$x=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=5 x=-6$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 5.

$$x=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -7,5, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-5\right)\left(x+7\right), cel mai mic multiplu comun al x-5,x+7,\left(x-5\right)\left(x+7\right).

$$\left(x+7\right)x+\left(x-5\right)\times 6=12x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+7 cu x.

$$x^{2}+7x+\left(x-5\right)\times 6=12x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 6.

$$x^{2}+7x+6x-30=12x$$

Combinați 7x cu 6x pentru a obține 13x.

$$x^{2}+13x-30=12x$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$x^{2}+13x-30-12x=0$$

Combinați 13x cu -12x pentru a obține x.

$$x^{2}+x-30=0$$

Adăugați 30 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$x^{2}+x=30$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Adunați 30 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=-6$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 5.

$$x=-6$$