Rezolvați x/x-2+2/x+3=10/x^2+x-6

$$\frac { x } { x - 2 } + \frac { 2 } { x + 3 } = \frac { 10 } { x ^ { 2 } + x - 6 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-7$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x+3,x^{2}+x-6.

$$\left(x+3\right)x+\left(x-2\right)\times 2=10$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu x.

$$x^{2}+3x+\left(x-2\right)\times 2=10$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2.

$$x^{2}+3x+2x-4=10$$

Combinați 3x cu 2x pentru a obține 5x.

$$x^{2}+5x-4=10$$

Scădeți 10 din ambele părți.

$$x^{2}+5x-4-10=0$$

Scădeți 10 din -4 pentru a obține -14.

$$x^{2}+5x-14=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+5x-14 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=-14$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -14.

$$-1,14 -2,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-2 b=7$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-2\right)\left(x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și x+7=0.

$$x=2 x=-7$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=-7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x+3,x^{2}+x-6.

$$\left(x+3\right)x+\left(x-2\right)\times 2=10$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu x.

$$x^{2}+3x+\left(x-2\right)\times 2=10$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2.

$$x^{2}+3x+2x-4=10$$

Combinați 3x cu 2x pentru a obține 5x.

$$x^{2}+5x-4=10$$

Scădeți 10 din ambele părți.

$$x^{2}+5x-4-10=0$$

Scădeți 10 din -4 pentru a obține -14.

$$x^{2}+5x-14=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-14. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=1\left(-14\right)=-14$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -14.

$$-1,14 -2,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-2 b=7$$

Rescrieți x^{2}+5x-14 ca \left(x^{2}-2x\right)+\left(7x-14\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(7x-14\right)$$

Factor x în primul și 7 în al doilea grup.

$$x\left(x-2\right)+7\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și x+7=0.

$$x=2 x=-7$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=-7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x+3,x^{2}+x-6.

$$\left(x+3\right)x+\left(x-2\right)\times 2=10$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu x.

$$x^{2}+3x+\left(x-2\right)\times 2=10$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2.

$$x^{2}+3x+2x-4=10$$

Combinați 3x cu 2x pentru a obține 5x.

$$x^{2}+5x-4=10$$

Scădeți 10 din ambele părți.

$$x^{2}+5x-4-10=0$$

Scădeți 10 din -4 pentru a obține -14.

$$x^{2}+5x-14=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 5 și c cu -14 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-14\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -14.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2}$$

Adunați 25 cu 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-5±9}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±9}{2} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 9.

$$x=\frac{4}{2}$$

Împărțiți 4 la 2.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±9}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din -5.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Împărțiți -14 la 2.

$$x=-7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=-7$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=-7$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x+3,x^{2}+x-6.

$$\left(x+3\right)x+\left(x-2\right)\times 2=10$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu x.

$$x^{2}+3x+\left(x-2\right)\times 2=10$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2.

$$x^{2}+3x+2x-4=10$$

Combinați 3x cu 2x pentru a obține 5x.

$$x^{2}+5x-4=10$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$x^{2}+5x=10+4$$

Adunați 10 și 4 pentru a obține 14.

$$x^{2}+5x=14$$

Împărțiți 5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=14+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=14+\frac{25}{4}$$

Adunați 14 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{81}{4}$$

Factor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{9}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{9}{2}$$

Scădeți \frac{5}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-7$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=-7$$