Rezolvați x/x^2-x-6=3/x^2-5x+6

$$\frac { x } { x ^ { 2 } - x - 6 } = \frac { 3 } { x ^ { 2 } - 5 x + 6 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-x-6,x^{2}-5x+6.

$$\left(x-2\right)x=\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x.

$$x^{2}-2x=\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 3.

$$x^{2}-2x=3x+6$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$x^{2}-2x-3x=6$$

Combinați -2x cu -3x pentru a obține -5x.

$$x^{2}-5x=6$$

Scădeți 6 din ambele părți.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-5x-6 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-6 b=1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și x+1=0.

$$x=6 x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-x-6,x^{2}-5x+6.

$$\left(x-2\right)x=\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x.

$$x^{2}-2x=\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 3.

$$x^{2}-2x=3x+6$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$x^{2}-2x-3x=6$$

Combinați -2x cu -3x pentru a obține -5x.

$$x^{2}-5x=6$$

Scădeți 6 din ambele părți.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-6 b=1$$

Rescrieți x^{2}-5x-6 ca \left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right)$$

Scoateți factorul comun x din x^{2}-6x.

$$x\left(x-6\right)+x-6$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și x+1=0.

$$x=6 x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-x-6,x^{2}-5x+6.

$$\left(x-2\right)x=\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x.

$$x^{2}-2x=\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 3.

$$x^{2}-2x=3x+6$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$x^{2}-2x-3x=6$$

Combinați -2x cu -3x pentru a obține -5x.

$$x^{2}-5x=6$$

Scădeți 6 din ambele părți.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -5 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-6\right)}}{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-6\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2}$$

Adunați 25 cu 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±7}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±7}{2} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 7.

$$x=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±7}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 5.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Împărțiți -2 la 2.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-x-6,x^{2}-5x+6.

$$\left(x-2\right)x=\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x.

$$x^{2}-2x=\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 3.

$$x^{2}-2x=3x+6$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$x^{2}-2x-3x=6$$

Combinați -2x cu -3x pentru a obține -5x.

$$x^{2}-5x=6$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

Adunați 6 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=-1$$