Rezolvați x/x^2-2x-5/3x^2-12=2/x

$$\frac { x } { x ^ { 2 } - 2 x } - \frac { 5 } { 3 x ^ { 2 } - 12 } = \frac { 2 } { x }$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,0,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+6 cu x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x^{2}-12 cu 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Scădeți 6x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Combinați 3x^{2} cu -6x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Adăugați 24 la ambele părți.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Înmulțiți -1 cu 5 pentru a obține -5.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Combinați 6x cu -5x pentru a obține x.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx+24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=-3\times 24=-72$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=9 b=-8$$

Rescrieți -3x^{2}+x+24 ca \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right)$$

Factor 3x în primul și 8 în al doilea grup.

$$3x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

Scoateți termenul comun -x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+3=0 și 3x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,0,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+6 cu x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x^{2}-12 cu 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Scădeți 6x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Combinați 3x^{2} cu -6x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Adăugați 24 la ambele părți.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Înmulțiți -1 cu 5 pentru a obține -5.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Combinați 6x cu -5x pentru a obține x.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 1 și c cu 24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 1 cu 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-1±17}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±17}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 17.

$$x=\frac{16}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{16}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±17}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din -1.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Împărțiți -18 la -6.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{8}{3} x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,0,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+6 cu x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x^{2}-12 cu 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Scădeți 6x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Combinați 3x^{2} cu -6x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Înmulțiți -1 cu 5 pentru a obține -5.

$$-3x^{2}+6x-5x=-24$$

Combinați 6x cu -5x pentru a obține x.

$$-3x^{2}+x=-24$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{24}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{24}{-3}$$

Împărțiți 1 la -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{24}{-3}$$

Împărțiți -24 la -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=8$$

Împărțiți -\frac{1}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=8+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=8+\frac{1}{36}$$

Adunați 8 cu \frac{1}{36}.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{289}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{17}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{17}{6}$$

Adunați \frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$