Rezolvați x/x+3+5/x-3

$$\frac { x } { x + 3 } + \frac { 5 } { x - 3 }$$

Evaluați

$$\frac{x^{2}+2x+15}{x^{2}-9}$$

Pașii soluției scurte

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui x+3 și x-3 este \left(x-3\right)\left(x+3\right). Înmulțiți \frac{x}{x+3} cu \frac{x-3}{x-3}. Înmulțiți \frac{5}{x-3} cu \frac{x+3}{x+3}.

$$\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{5\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$$

Deoarece \frac{x\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)} și \frac{5\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{x\left(x-3\right)+5\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$$

Faceți înmulțiri în x\left(x-3\right)+5\left(x+3\right).

$$\frac{x^{2}-3x+5x+15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$$

Combinați termeni similari în x^{2}-3x+5x+15.

$$\frac{x^{2}+2x+15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$$

Extindeți \left(x-3\right)\left(x+3\right).

$$\frac{x^{2}+2x+15}{x^{2}-9}$$

Calculați derivata în funcție de x

$$-\frac{2\left(x^{2}+24x+9\right)}{\left(x^{2}-9\right)^{2}}$$

Pași folosind regula de derivare pentru cât

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui x+3 și x-3 este \left(x-3\right)\left(x+3\right). Înmulțiți \frac{x}{x+3} cu \frac{x-3}{x-3}. Înmulțiți \frac{5}{x-3} cu \frac{x+3}{x+3}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{5\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)})$$

Deoarece \frac{x\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)} și \frac{5\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x\left(x-3\right)+5\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)})$$

Faceți înmulțiri în x\left(x-3\right)+5\left(x+3\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}-3x+5x+15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)})$$

Combinați termeni similari în x^{2}-3x+5x+15.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}+2x+15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)})$$

Să luăm \left(x-3\right)\left(x+3\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}+2x+15}{x^{2}-3^{2}})$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}+2x+15}{x^{2}-9})$$

Pentru orice două funcții diferențiabile, derivata câtului celor două funcții este numitorul înmulțit cu derivata numărătorului, minus numărătorul înmulțit cu derivata numitorului, totul împărțit la numitorul la pătrat.

$$\frac{\left(x^{2}-9\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+2x^{1}+15)-\left(x^{2}+2x^{1}+15\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-9)}{\left(x^{2}-9\right)^{2}}$$

Derivata unui polinom este suma derivatelor termenilor săi. Derivata unui termen constant este 0. Derivata lui ax^{n} este nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-9\right)\left(2x^{2-1}+2x^{1-1}\right)-\left(x^{2}+2x^{1}+15\right)\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}-9\right)^{2}}$$

Simplificați.

$$\frac{\left(x^{2}-9\right)\left(2x^{1}+2x^{0}\right)-\left(x^{2}+2x^{1}+15\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-9\right)^{2}}$$

Înmulțiți x^{2}-9 cu 2x^{1}+2x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 2x^{1}+x^{2}\times 2x^{0}-9\times 2x^{1}-9\times 2x^{0}-\left(x^{2}+2x^{1}+15\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-9\right)^{2}}$$

Înmulțiți x^{2}+2x^{1}+15 cu 2x^{1}.

$$\frac{x^{2}\times 2x^{1}+x^{2}\times 2x^{0}-9\times 2x^{1}-9\times 2x^{0}-\left(x^{2}\times 2x^{1}+2x^{1}\times 2x^{1}+15\times 2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-9\right)^{2}}$$

Pentru a înmulți puterile cu aceleași baze, adunați exponenții lor.

$$\frac{2x^{2+1}+2x^{2}-9\times 2x^{1}-9\times 2x^{0}-\left(2x^{2+1}+2\times 2x^{1+1}+15\times 2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-9\right)^{2}}$$

Simplificați.

$$\frac{2x^{3}+2x^{2}-18x^{1}-18x^{0}-\left(2x^{3}+4x^{2}+30x^{1}\right)}{\left(x^{2}-9\right)^{2}}$$

Combinați termenii asemenea.

$$\frac{-2x^{2}-48x^{1}-18x^{0}}{\left(x^{2}-9\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t, t^{1}=t.

$$\frac{-2x^{2}-48x-18x^{0}}{\left(x^{2}-9\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t cu excepția lui 0, t^{0}=1.

$$\frac{-2x^{2}-48x-18}{\left(x^{2}-9\right)^{2}}$$