Rezolvați x/x+1+x+1/x=13/6

$$\frac { x } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x } = \frac { 13 } { 6 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x+6 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combinați 6x^{2} cu 6x^{2} pentru a obține 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 13x cu x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Scădeți 13x^{2} din ambele părți.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combinați 12x^{2} cu -13x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Scădeți 13x din ambele părți.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combinați 12x cu -13x pentru a obține -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=2 b=-3$$

Rescrieți -x^{2}-x+6 ca \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

Scoateți termenul comun -x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+2=0 și x+3=0.

$$x=2 x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x+6 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combinați 6x^{2} cu 6x^{2} pentru a obține 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 13x cu x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Scădeți 13x^{2} din ambele părți.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combinați 12x^{2} cu -13x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Scădeți 13x din ambele părți.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combinați 12x cu -13x pentru a obține -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -1 și c cu 6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 1 cu 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±5}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{1±5}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±5}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 5.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Împărțiți 6 la -2.

$$x=-3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±5}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Împărțiți -4 la -2.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-3 x=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x+6 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combinați 6x^{2} cu 6x^{2} pentru a obține 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 13x cu x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Scădeți 13x^{2} din ambele părți.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combinați 12x^{2} cu -13x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Scădeți 13x din ambele părți.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combinați 12x cu -13x pentru a obține -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Scădeți 6 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-x^{2}-x=-6$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

Împărțiți -1 la -1.

$$x^{2}+x=-\frac{6}{-1}$$

Împărțiți -6 la -1.

$$x^{2}+x=6$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Adunați 6 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-3$$