Rezolvați x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 21, cel mai mic multiplu comun al 7,3.

$$3x+7y=105$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 14.

$$-x+42y=364$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$3x+7y=105$$

Scădeți 7y din ambele părți ale ecuației.

$$3x=-7y+105$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{3} cu -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Înlocuiți x cu -\frac{7y}{3}+35 în cealaltă ecuație, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Înmulțiți -1 cu -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Adunați \frac{7y}{3} cu 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Adunați 35 la ambele părți ale ecuației.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{133}{3}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=9$$

Înlocuiți y cu 9 în x=-\frac{7}{3}y+35. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Înmulțiți -\frac{7}{3} cu 9.

$$x=-21+35$$

Adunați 35 cu -21.

$$x=14$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=14,y=9$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 21, cel mai mic multiplu comun al 7,3.

$$3x+7y=105$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 14.

$$-x+42y=364$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=14,y=9$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 21, cel mai mic multiplu comun al 7,3.

$$3x+7y=105$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 14.

$$-x+42y=364$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Pentru a egala 3x și -x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu -1 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Simplificați.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Scădeți pe -3x+126y=1092 din -3x-7y=-105 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Adunați -3x cu 3x. Termenii -3x și 3x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Adunați -7y cu -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Adunați -105 cu -1092.

$$-133y=-1197$$

Se împart ambele părți la -133.

$$y=9$$

Înlocuiți y cu 9 în -x+42y=364. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$-x+42\times 9=364$$

Înmulțiți 42 cu 9.

$$-x+378=364$$

Scădeți 378 din ambele părți ale ecuației.

$$-x=-14$$

Se împart ambele părți la -1.

$$x=14$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=14,y=9$$