Rezolvați x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 20, cel mai mic multiplu comun al 5,4.

$$4x=5y$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Înmulțiți \frac{1}{4} cu 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Înlocuiți x cu \frac{5y}{4} în cealaltă ecuație, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Adunați -\frac{5y}{4} cu y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Se înmulțesc ambele părți cu -4.

$$y=12$$

Înlocuiți y cu 12 în x=\frac{5}{4}y. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Înmulțiți \frac{5}{4} cu 12.

$$x=15$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=15,y=12$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 20, cel mai mic multiplu comun al 5,4.

$$4x=5y$$

Scădeți 5y din ambele părți.

$$4x-5y=0$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3.

$$y=x-3$$

Scădeți x din ambele părți.

$$y-x=-3$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=15,y=12$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 20, cel mai mic multiplu comun al 5,4.

$$4x=5y$$

Scădeți 5y din ambele părți.

$$4x-5y=0$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3.

$$y=x-3$$

Scădeți x din ambele părți.

$$y-x=-3$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Pentru a egala 4x și -x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu -1 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Simplificați.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Scădeți pe -4x+4y=-12 din -4x+5y=0 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Adunați -4x cu 4x. Termenii -4x și 4x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$5y-4y=12$$

Adunați 5y cu -4y.

$$y=12$$

Înlocuiți y cu 12 în -x+y=-3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$-x+12=-3$$

Scădeți 12 din ambele părți ale ecuației.

$$-x=-15$$

Se împart ambele părți la -1.

$$x=15$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=15,y=12$$