Rezolvați x/2x+1+2/1-2x=3

$$\frac { x } { 2 x + 1 } + \frac { 2 } { 1 - 2 x } = 3$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{65}}{20}-\frac{1}{4}\approx 0,153112887$$

$$x=-\frac{\sqrt{65}}{20}-\frac{1}{4}\approx -0,653112887$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{1}{2},\frac{1}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(2x-1\right)\left(2x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 2x+1,1-2x.

$$\left(2x-1\right)x+\left(-1-2x\right)\times 2=3\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-1 cu x.

$$2x^{2}-x+\left(-1-2x\right)\times 2=3\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -1-2x cu 2.

$$2x^{2}-x-2-4x=3\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Combinați -x cu -4x pentru a obține -5x.

$$2x^{2}-5x-2=3\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 2x-1.

$$2x^{2}-5x-2=\left(6x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x-3 cu 2x+1 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-5x-2=12x^{2}-3$$

Scădeți 12x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}-5x-2-12x^{2}=-3$$

Combinați 2x^{2} cu -12x^{2} pentru a obține -10x^{2}.

$$-10x^{2}-5x-2=-3$$

Adăugați 3 la ambele părți.

$$-10x^{2}-5x-2+3=0$$

Adunați -2 și 3 pentru a obține 1.

$$-10x^{2}-5x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -10, b cu -5 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+40}}{2\left(-10\right)}$$

Adunați 25 cu 40.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{65}}{2\left(-10\right)}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{65}}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -10.

$$x=\frac{5±\sqrt{65}}{-20}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±\sqrt{65}}{-20} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{-20}$$

Împărțiți 5+\sqrt{65} la -20.

$$x=-\frac{\sqrt{65}}{20}-\frac{1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±\sqrt{65}}{-20} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{65} din 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{-20}$$

Împărțiți 5-\sqrt{65} la -20.

$$x=\frac{\sqrt{65}}{20}-\frac{1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{\sqrt{65}}{20}-\frac{1}{4} x=\frac{\sqrt{65}}{20}-\frac{1}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{1}{2},\frac{1}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(2x-1\right)\left(2x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 2x+1,1-2x.

$$\left(2x-1\right)x+\left(-1-2x\right)\times 2=3\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-1 cu x.

$$2x^{2}-x+\left(-1-2x\right)\times 2=3\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -1-2x cu 2.

$$2x^{2}-x-2-4x=3\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Combinați -x cu -4x pentru a obține -5x.

$$2x^{2}-5x-2=3\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 2x-1.

$$2x^{2}-5x-2=\left(6x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x-3 cu 2x+1 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-5x-2=12x^{2}-3$$

Scădeți 12x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}-5x-2-12x^{2}=-3$$

Combinați 2x^{2} cu -12x^{2} pentru a obține -10x^{2}.

$$-10x^{2}-5x-2=-3$$

Adăugați 2 la ambele părți.

$$-10x^{2}-5x=-3+2$$

Adunați -3 și 2 pentru a obține -1.

$$-10x^{2}-5x=-1$$

Se împart ambele părți la -10.

$$\frac{-10x^{2}-5x}{-10}=-\frac{1}{-10}$$

Împărțirea la -10 anulează înmulțirea cu -10.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-10}\right)x=-\frac{1}{-10}$$

Reduceți fracția \frac{-5}{-10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-10}$$

Împărțiți -1 la -10.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{10}$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{10}+\frac{1}{16}$$

Adunați \frac{1}{10} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{13}{80}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{13}{80}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{80}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{65}}{20} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{65}}{20}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{65}}{20}-\frac{1}{4} x=-\frac{\sqrt{65}}{20}-\frac{1}{4}$$