Rezolvați x^2-5x+4/x^2+2x+1=0

$$\frac { x ^ { 2 } - 5 x + 4 } { x ^ { 2 } + 2 x + 1 } = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu -1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}-5x+4 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-5 ab=4$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 4 de produs.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-4 b=-1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-4=0 și x-1=0.

$$x=4 x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu -1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 4 de produs.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-4 b=-1$$

Rescrieți x^{2}-5x+4 ca \left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și -1 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-4=0 și x-1=0.

$$x=4 x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu -1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -5 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2}$$

Adunați 25 cu -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±3}{2} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 3.

$$x=\frac{8}{2}$$

Împărțiți 8 la 2.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±3}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din 5.

$$x=\frac{2}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu -1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$x^{2}-5x=-4$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Adunați -4 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Factorul x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=1$$