Rezolvați x^2-4x-1/(x^2+1)^2=0

$$\frac { x ^ { 2 } - 4 x - 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -4 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Adunați 16 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

Împărțiți 4+2\sqrt{5} la 2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{5} din 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

Împărțiți 4-2\sqrt{5} la 2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Adăugați 1 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$x^{2}-4x=1$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Adunați 1 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Simplificați.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$