Rezolvați x^2-3x+4/x-4=-4

$$\frac { x ^ { 2 } - 3 x + 4 } { x - 4 } = - 4$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu 4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x-4.

$$x^{2}-3x+4=-4\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu x-4.

$$x^{2}-3x+4=-4x+16$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$x^{2}-3x+4+4x=16$$

Combinați -3x cu 4x pentru a obține x.

$$x^{2}+x+4=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$x^{2}+x+4-16=0$$

Scădeți 16 din 4 pentru a obține -12.

$$x^{2}+x-12=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+x-12 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-3 b=4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și x+4=0.

$$x=3 x=-4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu 4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x-4.

$$x^{2}-3x+4=-4\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu x-4.

$$x^{2}-3x+4=-4x+16$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$x^{2}-3x+4+4x=16$$

Combinați -3x cu 4x pentru a obține x.

$$x^{2}+x+4=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$x^{2}+x+4-16=0$$

Scădeți 16 din 4 pentru a obține -12.

$$x^{2}+x-12=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-3 b=4$$

Rescrieți x^{2}+x-12 ca \left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right)$$

Factor x în primul și 4 în al doilea grup.

$$x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și x+4=0.

$$x=3 x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x-4.

$$x^{2}-3x+4=-4\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu x-4.

$$x^{2}-3x+4=-4x+16$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$x^{2}-3x+4+4x=16$$

Combinați -3x cu 4x pentru a obține x.

$$x^{2}+x+4=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$x^{2}+x+4-16=0$$

Scădeți 16 din 4 pentru a obține -12.

$$x^{2}+x-12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 1 și c cu -12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-12\right)}}{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-12\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -12.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2}$$

Adunați 1 cu 48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-1±7}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±7}{2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 7.

$$x=\frac{6}{2}$$

Împărțiți 6 la 2.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±7}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -1.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Împărțiți -8 la 2.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu 4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x-4.

$$x^{2}-3x+4=-4\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu x-4.

$$x^{2}-3x+4=-4x+16$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$x^{2}-3x+4+4x=16$$

Combinați -3x cu 4x pentru a obține x.

$$x^{2}+x+4=16$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$x^{2}+x=16-4$$

Scădeți 4 din 16 pentru a obține 12.

$$x^{2}+x=12$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

Adunați 12 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-4$$