Rezolvați x^2/x+100=50

$$\frac { x ^ { 2 } } { x + 100 } = 50$$

Rezolvați pentru x

$$x=-50$$

$$x=100$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu -100, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x+100.

$$x^{2}=50\left(x+100\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 50 cu x+100.

$$x^{2}=50x+5000$$

Scădeți 50x din ambele părți.

$$x^{2}-50x=5000$$

Scădeți 5000 din ambele părți.

$$x^{2}-50x-5000=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-50x-5000 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-50 ab=-5000$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -5000.

$$1,-5000 2,-2500 4,-1250 5,-1000 8,-625 10,-500 20,-250 25,-200 40,-125 50,-100$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-5000=-4999 2-2500=-2498 4-1250=-1246 5-1000=-995 8-625=-617 10-500=-490 20-250=-230 25-200=-175 40-125=-85 50-100=-50$$

Soluția este perechea care dă suma de -50.

$$a=-100 b=50$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-100\right)\left(x+50\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-100=0 și x+50=0.

$$x=100 x=-50$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu -100, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x+100.

$$x^{2}=50\left(x+100\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 50 cu x+100.

$$x^{2}=50x+5000$$

Scădeți 50x din ambele părți.

$$x^{2}-50x=5000$$

Scădeți 5000 din ambele părți.

$$x^{2}-50x-5000=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-5000. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-50 ab=1\left(-5000\right)=-5000$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -5000.

$$1,-5000 2,-2500 4,-1250 5,-1000 8,-625 10,-500 20,-250 25,-200 40,-125 50,-100$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-5000=-4999 2-2500=-2498 4-1250=-1246 5-1000=-995 8-625=-617 10-500=-490 20-250=-230 25-200=-175 40-125=-85 50-100=-50$$

Soluția este perechea care dă suma de -50.

$$a=-100 b=50$$

Rescrieți x^{2}-50x-5000 ca \left(x^{2}-100x\right)+\left(50x-5000\right).

$$\left(x^{2}-100x\right)+\left(50x-5000\right)$$

Factor x în primul și 50 în al doilea grup.

$$x\left(x-100\right)+50\left(x-100\right)$$

Scoateți termenul comun x-100 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-100\right)\left(x+50\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-100=0 și x+50=0.

$$x=100 x=-50$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu -100, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x+100.

$$x^{2}=50\left(x+100\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 50 cu x+100.

$$x^{2}=50x+5000$$

Scădeți 50x din ambele părți.

$$x^{2}-50x=5000$$

Scădeți 5000 din ambele părți.

$$x^{2}-50x-5000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -50 și c cu -5000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{\left(-50\right)^{2}-4\left(-5000\right)}}{2}$$

Ridicați -50 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-4\left(-5000\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -5000.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500+20000}}{2}$$

Adunați 2500 cu 20000.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{22500}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 22500.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±150}{2}$$

Opusul lui -50 este 50.

$$x=\frac{50±150}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{50±150}{2} atunci când ± este plus. Adunați 50 cu 150.

$$x=\frac{200}{2}$$

Împărțiți 200 la 2.

$$x=100$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{50±150}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 150 din 50.

$$x=-\frac{100}{2}$$

Împărțiți -100 la 2.

$$x=-50$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=100 x=-50$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu -100, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x+100.

$$x^{2}=50\left(x+100\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 50 cu x+100.

$$x^{2}=50x+5000$$

Scădeți 50x din ambele părți.

$$x^{2}-50x=5000$$

Împărțiți -50, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -25. Apoi, adunați pătratul lui -25 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-50x+\left(-25\right)^{2}=5000+\left(-25\right)^{2}$$

Ridicați -25 la pătrat.

$$x^{2}-50x+625=5000+625$$

Adunați 5000 cu 625.

$$x^{2}-50x+625=5625$$

Factor x^{2}-50x+625. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-25\right)^{2}=5625$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-25\right)^{2}}=\sqrt{5625}$$

Simplificați.

$$x-25=75 x-25=-75$$

Adunați 25 la ambele părți ale ecuației.

$$x=100 x=-50$$