Rezolvați x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

Rezolvați pentru x

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10,242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1,757359313$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

Scăderea -2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

Scădeți -2 din 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu \frac{1}{9}, b cu -\frac{4}{3} și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Ridicați -\frac{4}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Înmulțiți -4 cu \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Înmulțiți -\frac{4}{9} cu 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Adunați \frac{16}{9} cu -\frac{8}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Opusul lui -\frac{4}{3} este \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Înmulțiți 2 cu \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} atunci când ± este plus. Adunați \frac{4}{3} cu \frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Împărțiți \frac{4+2\sqrt{2}}{3} la \frac{2}{9} înmulțind pe \frac{4+2\sqrt{2}}{3} cu reciproca lui \frac{2}{9}.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} atunci când ± este minus. Scădeți \frac{2\sqrt{2}}{3} din \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Împărțiți \frac{4-2\sqrt{2}}{3} la \frac{2}{9} înmulțind pe \frac{4-2\sqrt{2}}{3} cu reciproca lui \frac{2}{9}.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Se înmulțesc ambele părți cu 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Împărțirea la \frac{1}{9} anulează înmulțirea cu \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Împărțiți -\frac{4}{3} la \frac{1}{9} înmulțind pe -\frac{4}{3} cu reciproca lui \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Împărțiți -2 la \frac{1}{9} înmulțind pe -2 cu reciproca lui \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-18$$

Împărțiți -12, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -6. Apoi, adunați pătratul lui -6 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

Adunați -18 cu 36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

Factor x^{2}-12x+36. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Simplificați.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$