Rezolvați x^2/9-(x^2+4-6x)/16=1

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { ( x ^ { 2 } + 4 - 6 x ) } { 16 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{3 \sqrt{221} - 27}{7} \approx 2,514029463$$

$$x=\frac{-3\sqrt{221}-27}{7}\approx -10,228315177$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 144, cel mai mic multiplu comun al 9,16.

$$16x^{2}-9\left(x^{2}+4-6x\right)=144$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -9 cu x^{2}+4-6x.

$$16x^{2}-9x^{2}-36+54x=144$$

Combinați 16x^{2} cu -9x^{2} pentru a obține 7x^{2}.

$$7x^{2}-36+54x=144$$

Scădeți 144 din ambele părți.

$$7x^{2}-36+54x-144=0$$

Scădeți 144 din -36 pentru a obține -180.

$$7x^{2}-180+54x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$7x^{2}+54x-180=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu 54 și c cu -180 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-54±\sqrt{54^{2}-4\times 7\left(-180\right)}}{2\times 7}$$

Ridicați 54 la pătrat.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916-4\times 7\left(-180\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916-28\left(-180\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu -180.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916+5040}}{2\times 7}$$

Adunați 2916 cu 5040.

$$x=\frac{-54±\sqrt{7956}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 7956.

$$x=\frac{-54±6\sqrt{221}}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$x=\frac{-54±6\sqrt{221}}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-54±6\sqrt{221}}{14} atunci când ± este plus. Adunați -54 cu 6\sqrt{221}.

$$x=\frac{6\sqrt{221}-54}{14}$$

Împărțiți -54+6\sqrt{221} la 14.

$$x=\frac{3\sqrt{221}-27}{7}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-54±6\sqrt{221}}{14} atunci când ± este minus. Scădeți 6\sqrt{221} din -54.

$$x=\frac{-6\sqrt{221}-54}{14}$$

Împărțiți -54-6\sqrt{221} la 14.

$$x=\frac{-3\sqrt{221}-27}{7}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3\sqrt{221}-27}{7} x=\frac{-3\sqrt{221}-27}{7}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 144, cel mai mic multiplu comun al 9,16.

$$16x^{2}-9\left(x^{2}+4-6x\right)=144$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -9 cu x^{2}+4-6x.

$$16x^{2}-9x^{2}-36+54x=144$$

Combinați 16x^{2} cu -9x^{2} pentru a obține 7x^{2}.

$$7x^{2}-36+54x=144$$

Adăugați 36 la ambele părți.

$$7x^{2}+54x=144+36$$

Adunați 144 și 36 pentru a obține 180.

$$7x^{2}+54x=180$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7x^{2}+54x}{7}=\frac{180}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$x^{2}+\frac{54}{7}x=\frac{180}{7}$$

Împărțiți \frac{54}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{27}{7}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{27}{7} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{54}{7}x+\left(\frac{27}{7}\right)^{2}=\frac{180}{7}+\left(\frac{27}{7}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{27}{7} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{54}{7}x+\frac{729}{49}=\frac{180}{7}+\frac{729}{49}$$

Adunați \frac{180}{7} cu \frac{729}{49} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{54}{7}x+\frac{729}{49}=\frac{1989}{49}$$

Factor x^{2}+\frac{54}{7}x+\frac{729}{49}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{27}{7}\right)^{2}=\frac{1989}{49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{27}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1989}{49}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{27}{7}=\frac{3\sqrt{221}}{7} x+\frac{27}{7}=-\frac{3\sqrt{221}}{7}$$

Scădeți \frac{27}{7} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3\sqrt{221}-27}{7} x=\frac{-3\sqrt{221}-27}{7}$$