Rezolvați x^2/4-x+5=0

$$\frac { x ^ { 2 } } { 4 } - x + 5 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=2+4i$$

$$x=2-4i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu \frac{1}{4}, b cu -1 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{1}{4}\times 5}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Înmulțiți -4 cu \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-5}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Adunați 1 cu -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-4}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±2i}{2\times \frac{1}{4}}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±2i}{2\times \frac{1}{4}}$$

Înmulțiți 2 cu \frac{1}{4}.

$$x=\frac{1±2i}{\frac{1}{2}}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±2i}{\frac{1}{2}} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 2i.

$$x=\frac{1+2i}{\frac{1}{2}}$$

Împărțiți 1+2i la \frac{1}{2} înmulțind pe 1+2i cu reciproca lui \frac{1}{2}.

$$x=2+4i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±2i}{\frac{1}{2}} atunci când ± este minus. Scădeți 2i din 1.

$$x=\frac{1-2i}{\frac{1}{2}}$$

Împărțiți 1-2i la \frac{1}{2} înmulțind pe 1-2i cu reciproca lui \frac{1}{2}.

$$x=2-4i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2+4i x=2-4i$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+5-5=-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x=-5$$

Se înmulțesc ambele părți cu 4.

$$\frac{\frac{1}{4}x^{2}-x}{\frac{1}{4}}=-\frac{5}{\frac{1}{4}}$$

Împărțirea la \frac{1}{4} anulează înmulțirea cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{\frac{1}{4}}\right)x=-\frac{5}{\frac{1}{4}}$$

Împărțiți -1 la \frac{1}{4} înmulțind pe -1 cu reciproca lui \frac{1}{4}.

$$x^{2}-4x=-\frac{5}{\frac{1}{4}}$$

Împărțiți -5 la \frac{1}{4} înmulțind pe -5 cu reciproca lui \frac{1}{4}.

$$x^{2}-4x=-20$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-20+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=-20+4$$

Adunați -20 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=-16$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-16}$$

Simplificați.

$$x-2=4i x-2=-4i$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=2+4i x=2-4i$$