Rezolvați x^2/100+x-56=0

$$\frac { x ^ { 2 } } { 100 } + x - 56 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-140$$

$$x=40$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 100.

$$x^{2}+100x-5600=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+100x-5600 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=100 ab=-5600$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -5600.

$$-1,5600 -2,2800 -4,1400 -5,1120 -7,800 -8,700 -10,560 -14,400 -16,350 -20,280 -25,224 -28,200 -32,175 -35,160 -40,140 -50,112 -56,100 -70,80$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+5600=5599 -2+2800=2798 -4+1400=1396 -5+1120=1115 -7+800=793 -8+700=692 -10+560=550 -14+400=386 -16+350=334 -20+280=260 -25+224=199 -28+200=172 -32+175=143 -35+160=125 -40+140=100 -50+112=62 -56+100=44 -70+80=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 100.

$$a=-40 b=140$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-40\right)\left(x+140\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-40=0 și x+140=0.

$$x=40 x=-140$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 100.

$$x^{2}+100x-5600=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-5600. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=100 ab=1\left(-5600\right)=-5600$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -5600.

$$-1,5600 -2,2800 -4,1400 -5,1120 -7,800 -8,700 -10,560 -14,400 -16,350 -20,280 -25,224 -28,200 -32,175 -35,160 -40,140 -50,112 -56,100 -70,80$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+5600=5599 -2+2800=2798 -4+1400=1396 -5+1120=1115 -7+800=793 -8+700=692 -10+560=550 -14+400=386 -16+350=334 -20+280=260 -25+224=199 -28+200=172 -32+175=143 -35+160=125 -40+140=100 -50+112=62 -56+100=44 -70+80=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 100.

$$a=-40 b=140$$

Rescrieți x^{2}+100x-5600 ca \left(x^{2}-40x\right)+\left(140x-5600\right).

$$\left(x^{2}-40x\right)+\left(140x-5600\right)$$

Factor x în primul și 140 în al doilea grup.

$$x\left(x-40\right)+140\left(x-40\right)$$

Scoateți termenul comun x-40 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-40\right)\left(x+140\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-40=0 și x+140=0.

$$x=40 x=-140$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$\frac{1}{100}x^{2}+x-56=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu \frac{1}{100}, b cu 1 și c cu -56 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times \frac{1}{100}\left(-56\right)}}{2\times \frac{1}{100}}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times \frac{1}{100}\left(-56\right)}}{2\times \frac{1}{100}}$$

Înmulțiți -4 cu \frac{1}{100}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-\frac{1}{25}\left(-56\right)}}{2\times \frac{1}{100}}$$

Înmulțiți -\frac{1}{25} cu -56.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+\frac{56}{25}}}{2\times \frac{1}{100}}$$

Adunați 1 cu \frac{56}{25}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{\frac{81}{25}}}{2\times \frac{1}{100}}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru \frac{81}{25}.

$$x=\frac{-1±\frac{9}{5}}{2\times \frac{1}{100}}$$

Înmulțiți 2 cu \frac{1}{100}.

$$x=\frac{-1±\frac{9}{5}}{\frac{1}{50}}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\frac{9}{5}}{\frac{1}{50}} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu \frac{9}{5}.

$$x=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{50}}$$

Împărțiți \frac{4}{5} la \frac{1}{50} înmulțind pe \frac{4}{5} cu reciproca lui \frac{1}{50}.

$$x=40$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\frac{9}{5}}{\frac{1}{50}} atunci când ± este minus. Scădeți \frac{9}{5} din -1.

$$x=-\frac{\frac{14}{5}}{\frac{1}{50}}$$

Împărțiți -\frac{14}{5} la \frac{1}{50} înmulțind pe -\frac{14}{5} cu reciproca lui \frac{1}{50}.

$$x=-140$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=40 x=-140$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{100}x^{2}+x-56=0$$

Adunați 56 la ambele părți ale ecuației.

$$\frac{1}{100}x^{2}+x-56-\left(-56\right)=-\left(-56\right)$$

Scăderea -56 din el însuși are ca rezultat 0.

$$\frac{1}{100}x^{2}+x=-\left(-56\right)$$

Scădeți -56 din 0.

$$\frac{1}{100}x^{2}+x=56$$

Se înmulțesc ambele părți cu 100.

$$\frac{\frac{1}{100}x^{2}+x}{\frac{1}{100}}=\frac{56}{\frac{1}{100}}$$

Împărțirea la \frac{1}{100} anulează înmulțirea cu \frac{1}{100}.

$$x^{2}+\frac{1}{\frac{1}{100}}x=\frac{56}{\frac{1}{100}}$$

Împărțiți 1 la \frac{1}{100} înmulțind pe 1 cu reciproca lui \frac{1}{100}.

$$x^{2}+100x=\frac{56}{\frac{1}{100}}$$

Împărțiți 56 la \frac{1}{100} înmulțind pe 56 cu reciproca lui \frac{1}{100}.

$$x^{2}+100x=5600$$

Împărțiți 100, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 50. Apoi, adunați pătratul lui 50 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+100x+50^{2}=5600+50^{2}$$

Ridicați 50 la pătrat.

$$x^{2}+100x+2500=5600+2500$$

Adunați 5600 cu 2500.

$$x^{2}+100x+2500=8100$$

Factor x^{2}+100x+2500. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+50\right)^{2}=8100$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+50\right)^{2}}=\sqrt{8100}$$

Simplificați.

$$x+50=90 x+50=-90$$

Scădeți 50 din ambele părți ale ecuației.

$$x=40 x=-140$$