Rezolvați x^2/(2-x)^2+2x-1/x-2=0

$$\frac { x ^ { 2 } } { ( 2 - x ) ^ { 2 } } + \frac { 2 x - 1 } { x - 2 } = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu 2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)^{2}, cel mai mic multiplu comun al \left(2-x\right)^{2},x-2.

$$x^{2}+\left(x-2\right)\left(2x-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2x-1 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+2x^{2}-5x+2=0$$

Combinați x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=3\times 2=6$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-3 b=-2$$

Rescrieți 3x^{2}-5x+2 ca \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Factor 3x în primul și -2 în al doilea grup.

$$3x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 3x-2=0.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)^{2}, cel mai mic multiplu comun al \left(2-x\right)^{2},x-2.

$$x^{2}+\left(x-2\right)\left(2x-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2x-1 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+2x^{2}-5x+2=0$$

Combinați x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -5 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Adunați 25 cu -24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±1}{2\times 3}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±1}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{5±1}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±1}{6} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 1.

$$x=\frac{6}{6}$$

Împărțiți 6 la 6.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±1}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din 5.

$$x=\frac{4}{6}$$

Reduceți fracția \frac{4}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu 2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)^{2}, cel mai mic multiplu comun al \left(2-x\right)^{2},x-2.

$$x^{2}+\left(x-2\right)\left(2x-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2x-1 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+2x^{2}-5x+2=0$$

Combinați x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Scădeți 2 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$3x^{2}-5x=-2$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Împărțiți -\frac{5}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Adunați -\frac{2}{3} cu \frac{25}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Adunați \frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$