Rezolvați x^2+6x-7/3x^2-x-2=5

$$\frac { x ^ { 2 } + 6 x - 7 } { 3 x ^ { 2 } - x - 2 } = 5$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{2}{3},1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x-5 cu 3x+2 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Scădeți 15x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Combinați x^{2} cu -15x^{2} pentru a obține -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Adăugați 5x la ambele părți.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Combinați 6x cu 5x pentru a obține 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Adăugați 10 la ambele părți.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

Adunați -7 și 10 pentru a obține 3.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -14x^{2}+ax+bx+3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=-14\times 3=-42$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=14 b=-3$$

Rescrieți -14x^{2}+11x+3 ca \left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Factor 14x în primul și 3 în al doilea grup.

$$14x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Scoateți termenul comun -x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+1\right)\left(14x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+1=0 și 14x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{2}{3},1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x-5 cu 3x+2 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Scădeți 15x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Combinați x^{2} cu -15x^{2} pentru a obține -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Adăugați 5x la ambele părți.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Combinați 6x cu 5x pentru a obține 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Adăugați 10 la ambele părți.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

Adunați -7 și 10 pentru a obține 3.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -14, b cu 11 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -14.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+56\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Înmulțiți 56 cu 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\left(-14\right)}$$

Adunați 121 cu 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\left(-14\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\left(-14\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -14.

$$x=\frac{-11±17}{-28}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±17}{-28} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 17.

$$x=\frac{6}{-28}$$

Reduceți fracția \frac{6}{-28} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±17}{-28} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din -11.

$$x=-\frac{28}{-28}$$

Împărțiți -28 la -28.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{3}{14} x=1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{2}{3},1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x-5 cu 3x+2 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Scădeți 15x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Combinați x^{2} cu -15x^{2} pentru a obține -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Adăugați 5x la ambele părți.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Combinați 6x cu 5x pentru a obține 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Adăugați 7 la ambele părți.

$$-14x^{2}+11x=-10+7$$

Adunați -10 și 7 pentru a obține -3.

$$-14x^{2}+11x=-3$$

Se împart ambele părți la -14.

$$\frac{-14x^{2}+11x}{-14}=-\frac{3}{-14}$$

Împărțirea la -14 anulează înmulțirea cu -14.

$$x^{2}+\frac{11}{-14}x=-\frac{3}{-14}$$

Împărțiți 11 la -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=-\frac{3}{-14}$$

Împărțiți -3 la -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=\frac{3}{14}$$

Împărțiți -\frac{11}{14}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{28}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{28} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{3}{14}+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{28} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{3}{14}+\frac{121}{784}$$

Adunați \frac{3}{14} cu \frac{121}{784} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{289}{784}$$

Factor x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{289}{784}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{784}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{28}=\frac{17}{28} x-\frac{11}{28}=-\frac{17}{28}$$

Adunați \frac{11}{28} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$