Rezolvați x^2+5/25-x^2=3/x+5+x/x-5

$$\frac { x ^ { 2 } + 5 } { 25 - x ^ { 2 } } = \frac { 3 } { x + 5 } + \frac { x } { x - 5 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -5,5, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-5\right)\left(x+5\right), cel mai mic multiplu comun al 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+5, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Combinați 3x cu 5x pentru a obține 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Scădeți 8x din ambele părți.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Scădeți -15 din ambele părți.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

Adunați -5 și 15 pentru a obține 10.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

Combinați -x^{2} cu -x^{2} pentru a obține -2x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$-x^{2}+5-4x=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}-4x+5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-4 ab=-5=-5$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=1 b=-5$$

Rescrieți -x^{2}-4x+5 ca \left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 5 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Scoateți termenul comun -x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+1\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați -x+1=0 și x+5=0.

$$x=1 x=-5$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -5.

$$x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -5,5, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-5\right)\left(x+5\right), cel mai mic multiplu comun al 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+5, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Combinați 3x cu 5x pentru a obține 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Scădeți 8x din ambele părți.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Scădeți -15 din ambele părți.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

Adunați -5 și 15 pentru a obține 10.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

Combinați -x^{2} cu -x^{2} pentru a obține -2x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}-8x+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu -8 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+8\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 10.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 64 cu 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\left(-2\right)}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±12}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{8±12}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±12}{-4} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 12.

$$x=\frac{20}{-4}$$

Împărțiți 20 la -4.

$$x=-5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±12}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din 8.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Împărțiți -4 la -4.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-5 x=1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -5.

$$x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -5,5, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-5\right)\left(x+5\right), cel mai mic multiplu comun al 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+5, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Combinați 3x cu 5x pentru a obține 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Scădeți 8x din ambele părți.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-x^{2}-5-8x-x^{2}=-15$$

Combinați -x^{2} cu -x^{2} pentru a obține -2x^{2}.

$$-2x^{2}-5-8x=-15$$

Adăugați 5 la ambele părți.

$$-2x^{2}-8x=-15+5$$

Adunați -15 și 5 pentru a obține -10.

$$-2x^{2}-8x=-10$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}-8x}{-2}=-\frac{10}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-2}\right)x=-\frac{10}{-2}$$

Împărțiți -8 la -2.

$$x^{2}+4x=-\frac{10}{-2}$$

Împărțiți -10 la -2.

$$x^{2}+4x=5$$

Împărțiți 4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 2. Apoi, adunați pătratul lui 2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+4x+2^{2}=5+2^{2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x^{2}+4x+4=5+4$$

Adunați 5 cu 4.

$$x^{2}+4x+4=9$$

Factorul x^{2}+4x+4. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=9$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplificați.

$$x+2=3 x+2=-3$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-5$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -5.

$$x=1$$