Rezolvați x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -9,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+9\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Înmulțiți x+9 cu x+9 pentru a obține \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combinați x^{2} cu x^{2}\times 16 pentru a obține 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8x cu x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Scădeți 8x^{2} din ambele părți.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combinați 17x^{2} cu -8x^{2} pentru a obține 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Scădeți 72x din ambele părți.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combinați 18x cu -72x pentru a obține -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Se împart ambele părți la 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Soluția este perechea care dă suma de -6.

$$a=-3 b=-3$$

Rescrieți x^{2}-6x+9 ca \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Factor x în primul și -3 în al doilea grup.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați x-3=0.

$$x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -9,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+9\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Înmulțiți x+9 cu x+9 pentru a obține \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combinați x^{2} cu x^{2}\times 16 pentru a obține 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8x cu x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Scădeți 8x^{2} din ambele părți.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combinați 17x^{2} cu -8x^{2} pentru a obține 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Scădeți 72x din ambele părți.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combinați 18x cu -72x pentru a obține -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -54 și c cu 81 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Ridicați -54 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Adunați 2916 cu -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

Opusul lui -54 este 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Împărțiți 54 la 18.

$$x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -9,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+9\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Înmulțiți x+9 cu x+9 pentru a obține \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combinați x^{2} cu x^{2}\times 16 pentru a obține 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8x cu x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Scădeți 8x^{2} din ambele părți.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combinați 17x^{2} cu -8x^{2} pentru a obține 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Scădeți 72x din ambele părți.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combinați 18x cu -72x pentru a obține -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Scădeți 81 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Împărțiți -54 la 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Împărțiți -81 la 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Adunați -9 cu 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Factor x^{2}-6x+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-3=0 x-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=3$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=3$$