Rezolvați x+2/x+3+x-3/x-2=5/6

$$\frac { x + 2 } { x + 3 } + \frac { x - 3 } { x - 2 } = \frac { 5 } { 6 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{16}{7} = -2\frac{2}{7} \approx -2,285714286$$

$$x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6\left(x-2\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x+3,x-2,6.

$$\left(6x-12\right)\left(x+2\right)+\left(6x+18\right)\left(x-3\right)=5\left(x-2\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x-12 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$6x^{2}-24+\left(6x+18\right)\left(x-3\right)=5\left(x-2\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x+18 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$6x^{2}-24+6x^{2}-54=5\left(x-2\right)\left(x+3\right)$$

Combinați 6x^{2} cu 6x^{2} pentru a obține 12x^{2}.

$$12x^{2}-24-54=5\left(x-2\right)\left(x+3\right)$$

Scădeți 54 din -24 pentru a obține -78.

$$12x^{2}-78=5\left(x-2\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu x-2.

$$12x^{2}-78=\left(5x-10\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x-10 cu x+3 și a combina termenii similari.

$$12x^{2}-78=5x^{2}+5x-30$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$12x^{2}-78-5x^{2}=5x-30$$

Combinați 12x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține 7x^{2}.

$$7x^{2}-78=5x-30$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$7x^{2}-78-5x=-30$$

Adăugați 30 la ambele părți.

$$7x^{2}-78-5x+30=0$$

Adunați -78 și 30 pentru a obține -48.

$$7x^{2}-48-5x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$7x^{2}-5x-48=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu -5 și c cu -48 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 7\left(-48\right)}}{2\times 7}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 7\left(-48\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-28\left(-48\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu -48.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+1344}}{2\times 7}$$

Adunați 25 cu 1344.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1369}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1369.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±37}{2\times 7}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±37}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$x=\frac{5±37}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±37}{14} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 37.

$$x=\frac{42}{14}$$

Împărțiți 42 la 14.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±37}{14} atunci când ± este minus. Scădeți 37 din 5.

$$x=-\frac{32}{14}$$

Reduceți fracția \frac{-32}{14} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{16}{7}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-\frac{16}{7}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6\left(x-2\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x+3,x-2,6.

$$\left(6x-12\right)\left(x+2\right)+\left(6x+18\right)\left(x-3\right)=5\left(x-2\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x-12 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$6x^{2}-24+\left(6x+18\right)\left(x-3\right)=5\left(x-2\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x+18 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$6x^{2}-24+6x^{2}-54=5\left(x-2\right)\left(x+3\right)$$

Combinați 6x^{2} cu 6x^{2} pentru a obține 12x^{2}.

$$12x^{2}-24-54=5\left(x-2\right)\left(x+3\right)$$

Scădeți 54 din -24 pentru a obține -78.

$$12x^{2}-78=5\left(x-2\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu x-2.

$$12x^{2}-78=\left(5x-10\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x-10 cu x+3 și a combina termenii similari.

$$12x^{2}-78=5x^{2}+5x-30$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$12x^{2}-78-5x^{2}=5x-30$$

Combinați 12x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține 7x^{2}.

$$7x^{2}-78=5x-30$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$7x^{2}-78-5x=-30$$

Adăugați 78 la ambele părți.

$$7x^{2}-5x=-30+78$$

Adunați -30 și 78 pentru a obține 48.

$$7x^{2}-5x=48$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7x^{2}-5x}{7}=\frac{48}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=\frac{48}{7}$$

Împărțiți -\frac{5}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{14}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{14} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{48}{7}+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{14} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{48}{7}+\frac{25}{196}$$

Adunați \frac{48}{7} cu \frac{25}{196} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{1369}{196}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{1369}{196}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{196}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{14}=\frac{37}{14} x-\frac{5}{14}=-\frac{37}{14}$$

Adunați \frac{5}{14} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-\frac{16}{7}$$