Rezolvați u+2/u-4-1=u+1/u-3

$$\frac { u + 2 } { u - 4 } - 1 = \frac { u + 1 } { u - 3 }$$

Rezolvați pentru u

$$u=2$$

$$u=7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila u nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 3,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(u-4\right)\left(u-3\right), cel mai mic multiplu comun al u-4,u-3.

$$\left(u-3\right)\left(u+2\right)+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți u-3 cu u+2 și a combina termenii similari.

$$u^{2}-u-6+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți u-4 cu u-3 și a combina termenii similari.

$$u^{2}-u-6+\left(u^{2}-7u+12\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți u^{2}-7u+12 cu -1.

$$u^{2}-u-6-u^{2}+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Combinați u^{2} cu -u^{2} pentru a obține 0.

$$-u-6+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Combinați -u cu 7u pentru a obține 6u.

$$6u-6-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Scădeți 12 din -6 pentru a obține -18.

$$6u-18=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți u-4 cu u+1 și a combina termenii similari.

$$6u-18=u^{2}-3u-4$$

Scădeți u^{2} din ambele părți.

$$6u-18-u^{2}=-3u-4$$

Adăugați 3u la ambele părți.

$$6u-18-u^{2}+3u=-4$$

Combinați 6u cu 3u pentru a obține 9u.

$$9u-18-u^{2}=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$9u-18-u^{2}+4=0$$

Adunați -18 și 4 pentru a obține -14.

$$9u-14-u^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-u^{2}+9u-14=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 9 și c cu -14 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$u=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$u=\frac{-9±\sqrt{81+4\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -14.

$$u=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 81 cu -56.

$$u=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$u=\frac{-9±5}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$u=\frac{-9±5}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația u=\frac{-9±5}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 5.

$$u=-\frac{4}{-2}$$

Împărțiți -4 la -2.

$$u=2$$

Acum rezolvați ecuația u=\frac{-9±5}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din -9.

$$u=-\frac{14}{-2}$$

Împărțiți -14 la -2.

$$u=7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$u=2 u=7$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila u nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 3,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(u-4\right)\left(u-3\right), cel mai mic multiplu comun al u-4,u-3.

$$\left(u-3\right)\left(u+2\right)+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți u-3 cu u+2 și a combina termenii similari.

$$u^{2}-u-6+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți u-4 cu u-3 și a combina termenii similari.

$$u^{2}-u-6+\left(u^{2}-7u+12\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți u^{2}-7u+12 cu -1.

$$u^{2}-u-6-u^{2}+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Combinați u^{2} cu -u^{2} pentru a obține 0.

$$-u-6+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Combinați -u cu 7u pentru a obține 6u.

$$6u-6-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Scădeți 12 din -6 pentru a obține -18.

$$6u-18=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți u-4 cu u+1 și a combina termenii similari.

$$6u-18=u^{2}-3u-4$$

Scădeți u^{2} din ambele părți.

$$6u-18-u^{2}=-3u-4$$

Adăugați 3u la ambele părți.

$$6u-18-u^{2}+3u=-4$$

Combinați 6u cu 3u pentru a obține 9u.

$$9u-18-u^{2}=-4$$

Adăugați 18 la ambele părți.

$$9u-u^{2}=-4+18$$

Adunați -4 și 18 pentru a obține 14.

$$9u-u^{2}=14$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-u^{2}+9u=14$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-u^{2}+9u}{-1}=\frac{14}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$u^{2}+\frac{9}{-1}u=\frac{14}{-1}$$

Împărțiți 9 la -1.

$$u^{2}-9u=\frac{14}{-1}$$

Împărțiți 14 la -1.

$$u^{2}-9u=-14$$

Împărțiți -9, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$u^{2}-9u+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$u^{2}-9u+\frac{81}{4}=-14+\frac{81}{4}$$

Adunați -14 cu \frac{81}{4}.

$$u^{2}-9u+\frac{81}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor u^{2}-9u+\frac{81}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(u-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$u-\frac{9}{2}=\frac{5}{2} u-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adunați \frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$u=7 u=2$$